Iniziamo vedendo qualche esempio di derivate che si possono calcolare direttamente utilizzando le regole di derivazione viste in Derivate delle funzioni elementari – Paraboliamo.
{\color{blue}1)}f(x)=x^4\Rightarrow f'(x)=4\cdot x^{4-1}=4x^3\enspace.\\
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{\color{blue}2)}f(x)=\frac1{x^{2}}=x^{-2}\Rightarrow f'(x)=(-2)\cdot x^{-2-1}=-2x^{-3}=\frac{-2}{x^3}\enspace.\\
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{\color{blue}3)}f(x)=\sqrt x=x^{\frac12}\Rightarrow f'(x)=\frac12\cdot x^{\frac12-1}=\frac12x^{-\frac12}=\frac{1}{2\sqrt x}\enspace.\\
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{\color{blue}4)}f(x)=\sqrt [3]x=x^{\frac13}\Rightarrow f'(x)=\frac13\cdot x^{\frac13-1}=\frac13x^{-\frac23}=\frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}\enspace.\\
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{\color{blue}5)}f(x)=\sqrt{\frac1x}=\frac{1}{\sqrt x}=x^{-\frac12}\Rightarrow f'(x)=-\frac12\cdot x^{-\frac12-1}=-\frac12x^{-\frac32}=-\frac{1}{2x\sqrt{x}}\enspace. \\
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{\color{blue}6)}f(x)=\sqrt[4]{x^3}=x^{\frac34}\Rightarrow f'(x)= \frac34\cdot x^{\frac34-1}=\frac34x^{-\frac14}=\frac3{4\sqrt[4]x}\enspace.\\
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{\color{blue}7)}f(x)=x\sqrt x=x^{1+\frac12}=x^{\frac32}\Rightarrow f'(x)=\frac32\cdot x^{\frac32-1}=\frac32x^{\frac12}=\frac32\sqrt x\enspace.\\
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{\color{blue}8)}f(x)=\frac {x^2}{\sqrt[3]x}=x^{2-\frac13}=x^{\frac53}\Rightarrow f'(x)=\frac53\cdot x^{\frac53-1}=\frac53x^{\frac23}=\frac53\sqrt[3]{x^2}\enspace.\\
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{\color{blue}9)}f(x)=2^x\Rightarrow f'(x)=2^x\ln2\enspace.\\
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{\color{blue}10)}f(x)=\Big(\frac13\Big)^x\Rightarrow f'(x)=\Big(\frac13\Big)^x\ln\Big(\frac13\Big)=\Big(\frac13\Big)^x\ln3^{-1}=-\Big(\frac13\Big)^x\ln3\enspace.\\ \
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{\color{blue}11)}f(x)=e^x\Rightarrow f'(x)= e^x\enspace.\\
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{\color{blue}12)}f(x)=\log_2x\Rightarrow f'(x)=\frac1x\cdot\frac1{\ln3}=\frac{1}{x\ln3}\enspace.\\
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{\color{blue}13)}f(x)=\log_{\frac14}x\Rightarrow f'(x)=\frac1x\cdot\frac1{\ln \Big(\frac14\Big)}=\frac{1}{x\ln4^ {-1}}=-\frac{1}{x\ln4}=\enspace.\\
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{\color{blue}14)}f(x)=\log_{\frac34}x\Rightarrow f'(x)=\frac1x\cdot\frac1{\ln \Big(\frac34\Big)}=\frac{1}{x\ln\Big(\frac34\Big)}\enspace.
Ora che abbiamo visto come calcolano alcuni esempi di derivate elementari, vediamo qualche problema risolvibile tramite questo stesso tipo di conti.
{\color{blue}1)}\text{Determina le equazioni della retta tangente e della retta normale} \\
\text{al grafico della funzione }f(x)=x^3\text{ nel punto di ascissa }2.\\
\text{Per risolvere questo tipo di esercizi, iniziamo calcolando la parte mancante del}\\
\text{punto del grafico che ci interessa: in questo caso ci manca l'ordinata, che }\\
\text{si ottiene sostituendo nella funzione il valore dato dell'ascissa:}\\
y_0=(2)^3=8\Rightarrow \text{il punto che ci interessa è }P(2,8)\enspace.\\
\text{Calcoliamo il valore della derivata:}\\
f'(x)=3x^2\enspace,\\
\text{che, quando }x_0=2,\text{ prende il valore}\\
f'(2)=3\cdot(2)^2=12\enspace.\\
\text{Ora abbiamo tutto quello che ci serve per calcolare la retta tangente nel punto }P:\\
y-f(x_0)=f'(x_0)(x-x_0)\Rightarrow y-8=12(x-2)\Rightarrow y=12x-24+8\Rightarrow y=12x-16\enspace.\\
\text{Per calcolare la retta normale, calcoliamone il coefficiente angolare:}\\
\ \\
-\frac{1}{f'(x_0)}=-\frac1{12}\enspace,\\
\ \\
\text{quindi la retta normale ha equazione: }\\
\ \\
y-8=\frac1{12}(x-2)\Rightarrow y=-\frac1{12}x+\frac16+8\Rightarrow y=-\frac1{12}x+\frac{49}{6}\enspace.\\
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{\color{blue}2)}\text{Determina le equazioni della retta tangente e della retta normale} \\
\text{al grafico della funzione }f(x)=\cos x\text{ nel punto di ascissa }\frac \pi4.\\
\text{Come nel caso precedente iniziamo calcolando l'ordinata del punto, che }\\
\text{si ottiene sostituendo nella funzione il valore dato dell'ascissa:}\\
y_0=\cos\Big(\frac \pi4\Big)=\frac{\sqrt2}2\Rightarrow \text{il punto che ci interessa è }P\Big(\frac \pi6,\frac{\sqrt2} 2\Big)\enspace.\\
\text{Calcoliamo il valore della derivata:}\\
f'(x)=-\sin x\enspace,\\
\text{che, quando }x_0=\frac \pi6,\text{ prende il valore}\\
f'\Big(\frac\pi6\Big)= -\frac{\sqrt2}2\enspace.\\
\text{Ora abbiamo tutto quello che ci serve per calcolare la retta tangente nel punto }P:\\
y-f(x_0)=f'(x_0)(x-x_0)\Rightarrow y-\frac{\sqrt2}2=-\frac{\sqrt2}2\Big(x-\frac \pi 6\Big)\Rightarrow y=-\frac{\sqrt2}2x+\frac{\sqrt2\pi}{12}-\frac{\sqrt2}2\enspace.\\
\text{Per calcolare la retta normale, calcoliamone il coefficiente angolare:}\\
\ \\
-\frac{1}{f'(x_0)}=-\frac{-2}{\sqrt2}=+\frac{2}{\sqrt2}\cdot\frac{\sqrt2}{\sqrt2}=\frac{{\color{red}\cancel{{\color{black}2}}}\sqrt2}{{\color{red}\cancel{{\color{black}2}}}}=\sqrt2\enspace,\\
\ \\
\text{quindi la retta normale ha equazione: }\\
\ \\
y-\frac{\sqrt2}2=\sqrt2\Big(x-\frac\pi6\Big)\Rightarrow y=-\sqrt 2x+\frac{\sqrt2\pi}{6}+\frac{\sqrt2}{2}\enspace.\\
\ \\
\ \\
{\color{blue}3)}\text{Determina le equazioni della retta tangente e della retta normale} \\
\text{al grafico della funzione }f(x)=2^x\text{ nel suo punto di intersezione con l'asse }y.\\
\text{Per individuare il punto che ci interessa, ricordiamo che il punto di intersezione con}\\
\text{l'asse delle }y\text{corrisponde al punto si ascissa }0.\\
\text{Quindi dobbiamo sostituire il valore }x=0:
y_0= 2^0=1\enspace.\\
\text{Calcoliamo il valore della derivata:}\\
f'(x)=2^x\ln2\enspace,\\
\text{che, quando }x_0=0,\text{ prende il valore}\\
f'(0)=2^0\ln2=\ln2\enspace.\\
\text{Ora abbiamo tutto quello che ci serve per calcolare la retta tangente nel punto }P:\\
y-f(x_0)=f'(x_0)(x-x_0)\Rightarrow y-1=\ln2(x-0)\Rightarrow y=\ln2 x+1\enspace.\\
\text{Per calcolare la retta normale, calcoliamone il coefficiente angolare:}\\
\ \\
-\frac{1}{f'(x_0)}=-\frac{1}{\ln2}=\enspace,\\
\ \\
\text{quindi la retta normale ha equazione: }\\
\ \\
y-1=-\frac{1}{\ln2}(x-0)\Rightarrow y=-\frac{1}{\ln2}x+1\enspace.\\