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Categoria: Monomi e polinomi

Esempi di scomposizione di polinomi

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Pubblicato inAlgebra , Monomi e polinomi

Esempi di raccoglimento totale:

{\color{blue}1)}2a^2+5ab+6a=a(2a+5b+6)\\
{\color{blue}2)}\frac19xyz^2+\frac23x^2yz^4-\frac19xyz=\frac13xyz=\Big(\frac13z+2xz^3-\frac13\Big)\\
{\color{blue}3)}x(x-y)+z(x-y)=(x+z)(x-y)\\
{\color{blue}4)}b(a+2)-b^2(a+2)^2-(a+2)=(b-b^2(a+2)-1)(a-2)\\
{\color{blue}5)}\frac15a^4b^2c^2+\frac35a^2b^2c^2-\frac1{10}a^3b^4c=\frac15a^2b^2c\Big(a^2c+3c-\frac12ab^2\Big)

Esempi di raccoglimento parziale:

{\color{blue}1)}a^2+ab+ac+bc=a(a+b)+c(a+b)=(a+b)(a+c)\\
{\color{blue}2)}x^2y^2-y^2+x^2-1=y^2(x^2-1)+1(x^2-1)=(y^2+1)(x^2-1)\\
{\color{blue}3)}ax+2y+x^2-2x-xy-ay=x(a+x-2)-y(-2+x+a)=\\
(x-y)(a+x-2)\\
{\color{blue}4)}n(m+2)-2-m=n(m+2)-(2+m)=(n-1)(m+2)\\
{\color{blue}5)}(x-y)^2(x+y)-3x+3y=(x-y)^2(x+y)-3(x-y)=\\
(x-y)[(x-y)(x+y)-3]

Esempi di quadrato di binomio:

{\color{blue}1)}a^4+4b^2-4a^2b=(a^2-2b)^2\\
{\color{blue}2)}9x^4y^2-12x^3 y+4x^2=(3x^2y-2x)^2\\
{\color{blue}3)}m^4+4m^6+4m^5=(m^2+2m^3)^2\\
{\color{blue}4)}\frac94x^2y^2+\frac19y^4-xy^3=\Big(\frac32xy-\frac13y^2\Big)^2\\
{\color{blue}5)}\frac1{16}m^4n^6+\frac19m^6x^2-\frac16m^5n^3x=\Big(\frac14m^2n^3-\frac13m^3x\Big)^2

Esempi di cubo di binomio:

{\color{blue}1)}x^3-8y^3+12xy^2-6x^2y=(x-2y)^3\\
{\color{blue}2)}54x^5+8x^3+27x^6+36x^4=(2x+3x^2)^3\\
{\color{blue}3)}\frac{a^6b^2}{6}-\frac{a^9}{27}-\frac{a^3b^4}{4}+\frac{b^6}{8}=\Big(\frac{ b^2}2-\frac{a^3}3\Big)^3\\
{\color{blue}4)}27m^6-m^3+27m^5-9m^4=(3m^2-m)^3\\
{\color{blue}5)}\frac14x^5y^6+\frac18x^6y^6+\frac{1}{27}x^3y^6+\frac16x^4y^6=\Big(\frac13xy^2+\frac12x^2y^2\Big)^3

Esempi di quadrato di trinomio:

{\color{blue}1)}a^2+b^2+2ab+4+4a+4b=(a+b+2)^2\\
{\color{blue}2)}\frac19-2xy-\frac43yz+4y^2+\frac14x^2+\frac13xz=\Big(\frac12x-2y+\frac13z\Big)^2\\
{\color{blue}3)}4m^2+n^2+9m^4n^2-4mn-12m^3n+6m^2n^2=(2m-n-3m^2n)^2\\
{\color{blue}4)}\frac14n^2+\frac{1}{16}m^2n^2+9m^4n^2-\frac14mn^2-\frac32m^3n^2+3m^2n^2=\Big(\frac12n-\frac14mn+3m^2n^2\Big)^2\\
{\color{blue}5)}\frac{1}{25}x^2y^4+\frac14x^4y^2z^2+\frac19x^2z^2+\frac15x^3y^3z-\frac2{15}x^2y^2z-\frac13x^3yz^2=\Big(\frac15xy^2+\frac12x^2yz-\frac13x\Big)^2

Scomposizione di polinomi

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Cosa significa scomporre (o fattorizzare) un polinomio?

In generale un polinomio è rappresentato attraverso la somma algebrica di più monomi. Scomponendolo vogliamo riscriverlo come il prodotto di altri polinomi, di grado più basso rispetto a quello di partenza (in modo analogo rispetto alla scomposizione in fattori primi di un numero naturale).

Se è possibile effettuare la scomposizione, il polinomio viene detto riducibile, altrimenti è detto irriducibile.

Vediamo alcune tecniche molto utili per riuscire ad effettuare la scomposizione:

  • Raccoglimento totale
\text{Possiamo utilizzare questa tecnica per mettere in evidenza i fattori comuni a tutti i }\\
\text{monomi che compongono il polinomio. Possiamo farlo grazie alla proprietà distributiva}\\
\text{della moltiplicazione rispetto all'addizione. Vediamo qualche esempio:}\\
{\color{blue}1)}3m^4n+9mn^3-6m^2n^2+15m^8n^6=\\
\text{per quanto riguarda i coefficienti numerici, cerco il MCD(3,9,6,15)=3}\\
\text{per quanto riguarda la parte letterale, possiamo raccogliere le lettere presenti in ogni }\\
\text{monomio, con l'esponente minore che compare}\\
=3mn\cdot m^3+3mn\cdot 3n^2-3mn\cdot 2mn+3mn\cdot 5m^7n^5=\\
=3mn(m^3+3n^2-2mn+5m^7n^5)\\
{\color{blue}2)}12x^3y^4-2x^4y^5+6x^3y^2-10x^5y^2=\\
\text{MCD(12,2,6,10)=2 e raccogliamo }x^3y^2\\
=2x^3y^2\cdot6y^2-2x^3y^2\cdot xy+2x^3y^2\cdot 3-2x^3y^2\cdot 5x^2=\\
=2x^3y^2(6y^2-xy+3-5x^2)
  • Raccoglimento parziale
\text{Si utilizza questa strategia quando non è possibile fare fin da subito un raccoglimento}\\
\text{totale, ma si possono raccogliere fattori solo tra alcuni monomi per poi effettuare un}\\
\text{racoglimento totale. Vediamo alcuni esempi:}\\
{\color{blue}1)}ax+ay-bx-by=\\
\text{In questo caso possiamo solo raccogliere fattori tra coppie di monomi, ad esempio}\\
\text{possiamo raccogliere la lettera a nella prima coppia e la lettera b nella seconda}\\
\text{(o, in modo analogo, la lettera x tnella prima coppia e la lettera y nella seconda)}\\
=a(x+y)+b(-x-y)=\\
\text{a questo punto i fattori nelle parentesi sono quasi uguali: differiscono solo per il segno}\\
\text{che possiamo rendere uguale raccogliendo un - in uno dei due (ad esempio lo faremo nel}\\
\text{secondo fattore per avere all'interno della parentesi il segno positivo, ma si può procedere}\\
\text{come si preferisce)}\\
=a(x+y)-b(x+y)=\\
\text{come ultimo passaggio ora possiamo effettuare un raccoglimento totale del fattore (x+y)}\\
=(x+y)(a-b)\\
{\color{blue}2)}x^5-x^3-x^2+1=\\
\text{Come nel caso precedente non possiamo inizare da un raccoglimento totale, ma possiamo}\\
\text{raccogliere ad esempio }x^3\text{tra i primi due addendie 1 tra gli altri due (o }x^2\text{tra il primo ed il}\\
\text{terzo ed 1 tra il secondo e il quarto, il risultato non cambia}\\
=x^3(x^2-1)+1(-x^2+1)=\\
\text{come nel caso precedente dobbiamo cambiare segno in una delle due parentesi }\\
=x^3(x^2-1)-1(x^2-1)=\\
\text{ora possiamo fare il raccoglimento totale del fattore in comune}\\
=(x^3-1)(x^2-1)
  • Somma/differenza di cubi
\text{In questo caso abbiamo una formula che ci permette direttamente la scomposizione:}\\
a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)\\
a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)\\
\text{vediamo alcuni esempi:}\\
{\color{blue}1)}x^6+27=(x^2+3)(x^4-3x^2+9)\\
{\color{blue}2)}a^9-b^3=(a^3-b)(a^6+a^3b+b^2)\\
\text{Bisogna fare attenzione al secondo fattore della scomposizione: sembra il quadrato di un}\\
\text{binomio, ma non lo è! Non abbiamo il doppio prodotto tra i due monomi ma solo}\\
\text{ il prodotto.}
  • Trinomio speciale monico
\text{Questo è un caso particolare di un trinomio che deve essere nella forma: }\\
x^2+sx+p\\
\text{dove il coefficiente di } x^2 \text{ deve essere 1, mentre il coefficiente di x e il termine noto devono}\\
\text{essere tali da poter trovare due numeri che, moltiplicati tra loro diano p, mentre sommati}\\
\text{diano s. Se indichiamo questi due numeri con } x_0\ \text{e} \ x_1 \text{la scomposizione diventa:}\\
x^2+px+s=(x+x_0)(x+x_1)\\
\text{Vediamo alcuni esempi}:\\
{\color{blue}1)}x^2+5x+6=\\
\text{Vogliamo due numeri che, sommati tra loro mi diano +5 e moltiplicati tra loro mi }\\
\text{diano +6: i due numeri sono 2 e 3! }\\
=(x+2)(x+3)\\
{\color{blue}2)}x^2+6x-7=\\
\text{Voglio due numeri che, moltiplicati tra loro mi diano -7 e sommati mi diano +6.}\\
\text{Osserviamo che questa volta il prodotto è negativo: i due numeri avranno segni opposti}\\
\text{e la somma è positiva: il maggiore sarà quello positivo e il minore quello negativo.}\\
\text{I due numeri cercati sono +7 e -1!}\\
=(x+7)(x-1)\\
{\color{blue}3)}x^2-11+10=\\
\text{Voglio due numeri che, moltiplicati tra loro mi diano +10 e sommati mi diano -11.}\\
\text{In questo caso il prodotto ha segn positivo, quindi i due numeri avranno stesso segno}\\
\text{e, dato che la somma ha segno negativo, i due numeri saranno entrambi negativi.}\\
\text{I due numeri cercati sono -1 e -10!}\\
=(x-1)(x-10)
  • Trinomio speciale non monico
\text{Questo caso è la generalizzazione del trinomio speciale fatto nel punto precedente:}\\
\text{ora il coefficiente di }x^2\text{può essere diverso da 1. Abbiamo quindi la forma}\\
ax^2+sx+p\\
\text{ora dobbiamo trovare due numeri tali che la loro somma sia s (come nel caso precedene)}\\
\text{ma il loro prodotto sia }a\cdot p\\
\text{La scomposizione diventa quindi:}\\
ax^2+sx+p=(ax+x_0)\Big(x+\frac {x_1}{a}\Big)\\
\text{Vediamo alcuni esempi:}\\
{\color{blue}1)}3x^2-5x+2=\\
\text{Vogliamo due numeri tali che la loro somma sia -5 ed il loro prodotto sia } 3\cdot2=+6\\
\text{Abbiamo il prodotto positivo, quindi i due numeri avranno stesso segno, mentre la}\\
\text{somma è negativa, quindi avranno entrambi segno negativo.}\\
\text{I due numeri sono -2 e -3! La fattorizzazione diventa}:\\
=(3x-2)\Big(x-\frac{3}{3}\Big)=(3x-2)(x-1)\\
{\color{blue}2)}10x^2+x-3=\\
\text{Vogliamo due numeri tali che la loro somma sia +1 ed il loro prodotto sia}10\cdot(-3)=-30\\
\text{Abbiamo prodotto negativo e somma positiva: i due numeri avranno segno opposto ed il}\\
\text{maggiore sarà quello positivo, mentre il minore quello negativo.}\\
\text{I due numeri sono +6 e -5!}\\
=(10x+6)\Big(x-\frac{5}{10}\Big)=(10x-6)\Big(x-\frac12\Big)
  • Scomposizione data da prodotti notevoli: (mentre richiamiamo le formule, con le lettere maiuscole indichiamo un monomio qualsiasi)
{\color{blue}\text{Quadrato di binomio}}:\text{Ricordiamo la formula}\\
(A+B)^2=A^2+B^2+2AB\\
\text{Vediamo alcuni esempi di scmposizioni utilizzando questa formula}\\
{\color{blue}1)}a^2+1+2a\Rightarrow\text{ i due possibili quadrati sono  } a^2 \ e\ 1\\
\Rightarrow \text{Quindi i due monomi del binomio potrebbero essere a e 1,}\\
\text{verifichiamo se il doppio prodotto è 2a}\Rightarrow 2\cdot a\cdot1=2a\\
\Rightarrow\text{il quadrato di binomio è quindi} (a+1)^2\\
\text{Abbiamo un segno positivo tra i due monomi del quadrato perchè il }\\
\text{segno del doppio prodotto è +}\\
{\color{blue}2)}x^6-2ax^2+a^2 \Rightarrow \text{i due possibili quadrati sono } x^6 \ e\ a^2\\
   \Rightarrow \text{Quindi i due monomi del binomio potrebbero essere } x^3\  e\  a,\\
\text{verifichiamo se il doppio prodotto è }2ax^2\Rightarrow 2\cdot a\cdot x^3=2ax^3\\
\Rightarrow\text{il quadrato di binomio è quindi }(a-x^3)^2\\
\text{Abbiamo un segno negativo tra i due monomi del quadrato perchè il }\\
\text{segno del doppio prodotto è -}\\
{\color{blue}3)}4a^6+9b^2-6a^3b\Rightarrow\text{i due possibili quadrati sono }4a^6\ e \ 9b^2\\
\Rightarrow \text{Quindi i due monomi del binomio potrebbero essere}\ 2a^3\ e\ 3b,\\
\text{verifichiamo se il doppio prodotto è }-6a^3b\Rightarrow 2\cdot 2a^3\cdot3b=12a^3b\\ \Rightarrow \text{non è un quadrato di binomio!}\\
{\color{blue}\text{Cubo di binomio}}:\text{Ricordiamo la formula}\\
(A+B)^3=A^3+B^3+3A^2B+3AB^2\\
\text{Vediamo alcuni esempi di scomposizioni utilizzando questa formula}\\
{\color{blue}1)}8a^3+12a^2+6a+1\Rightarrow\text{i due possibili cubi sono } 8a^3\ e\ 1\\
\Rightarrow \text{Quindi i due monomi del binomio potrebbero essere }2a\ e\ 1\\
\text{Verifichiamo se i due tripli prodotti sono }12a^2 \ e\ 6a\\
\Rightarrow3\cdot (2a)^2\cdot1=12a^2\ e\ 3\cdot 2a\cdot (1)^2=6a\\
\Rightarrow \text{il cubo di monomio è }(2a+1)^3\\
\text{Abbiamo un segno positivo tra i due monomi del cubo perchè entrambi i tripli}\\
\text{ prodotti sono positivi}\\
{\color{blue}2)}\frac{1}{27}x^3-x^2y+9xy^2-27y^3\Rightarrow\text{i due possibili cubi sono } \frac{1}{27}x^3\ e\ -27y^3\\
\Rightarrow \text{Quindi i due monomi del binomio potrebbero essere }\frac13x\ e\ -3y\\
\text{Verifichiamo se i due tripli prodotti sono }-x^2y \ e\ 9xy^2\\
\Rightarrow3\cdot \Big(\frac13x\Big)^2\cdot(-3y)=-x^2y\ e\ 3\cdot \frac13x\cdot (-3y)^2=9xy^2\\
\Rightarrow \text{il cubo di monomio è }\Big(\frac13x-3y\Big)^3\\
\text{I segni dei monomi sono gli stessi del cubo perchè una potenza dispari non cambia il segno}\\
{\color{blue}3)}6x^2-6x^4-8+x^6\Rightarrow\text{i due possibili cubi sono }-8\ e\ x^6\\
\text{scelgo }x^6\text{ come possibile cubo perchè l'esponente è divisibie per 3}\\
\Rightarrow \text{Quindi i due monomi del  binomio potrebbero essere }-2\ e\ x^2\\
\text{Verifichiamo se i due tripli prodotti sono }6x^2\ e\ -6x^4\\
\Rightarrow3\cdot(-2)^2\cdot x^2=12x^2\ e\ 3\cdot(-2)\cdot(x^2)^2=-6x^4\\
\Rightarrow\text{quindi, dato che il primo triplo prodotto è diverso, non è un cubo!}\\
{\color{blue}\text{Differenza di cubi}}:\text{Ricordiamo la formula}\\
A^2-B^2=(A+B)\cdot(A-B)\\
\text{Vediamo alcuni esempi di scomposizioni utilizzando questa formula}\\
{\color{blue}1)}9x^2-4y^2\Rightarrow\text{i due quadrati sono }9x^2\ e\ 4y^2\\
\Rightarrow\text{Quindi i due monomi di partenza sono } 3x\ e\ 2y\\
\text{il risultato quindi è: }(3x+2y)\cdot(3x-2y)\\
\text{dove il monomio che camba segno è  2y perchè nella forma iniziale }4y^2 \text{ è negativo}\\
{\color{blue}2)}\frac14a^6-b^4\Rightarrow\text{i due quadrati sono }\frac14a^6\ e\ b^4\\
\Rightarrow\text{Quindi i due monomi di partenza sono } \frac12a^3\ e\ b^2\\
\text{il risultato quindi è: }\Big(\frac12a^3+b^2\Big)\cdot\Big(\frac12a^3-b^2\Big)\\
\text{dove il monomio che camba segno è } b^2 \text{perchè nella forma iniziale }b^4 \text{ è negativo}\\
{\color{blue}3)}-16+m^4\Rightarrow\text{i due quadrati sono }16\ e\ m^4\\
\Rightarrow\text{Quindi i due monomi di partenza sono } 4\ e\ m^2\\
\text{il risultato quindi è: }(m^2+4)\cdot(m^2-4)\\
\text{dove il monomio che camba segno è  4 perchè nella forma iniziale }16\text{ è negativo}\\
{\color{blue}\text{Quadrato di trinomio}}:\text{Ricordiamo la formula}\\
(A+B+C)^2=A^2+B^2+C^2+2AB+2AC+2BC\\
\text{Vediamo alcuni esempi di scomposizioni utilizzando questa formula}\\
{\color{blue}1)}4x^2y^2+9x^2+y^2+12x^2y-6xy-4xy^2\Rightarrow \text{i possibili quadrati sono:}\\
4x^2y^2,\ 9x^2\ e\ y^2. \text{Vediamo se i doppi prodotti sono }12x^2y,\ 6xy\ e\ 4xy^2\\
2\cdot(2xy)\cdot(3x)=12x^2y,\ 2\cdot(3x)\cdot(y)=6xy\ e \ 2\cdot(2xy)\cdot(y)=4xy^2\\
\text{Vediamo i segni dei doppi prodotti: }+12x^2y \text{ ha segno positivo quindi }\\
 2xy\ e\ 3x \text{ hanno lo stesso segno}, -6xy \text{ ha segno negativo, quindi } 3x\ e \ y\\
\text{hanno segno opposto e }-4xy^2 \text{ ha segno negativo, quindi }2xy\ e\ y\text{ hanno segno opposto}\\
\Rightarrow \text{Se decidiamo di assegnare il segno + al primo monomio (cioè a }2xy)\\
\text{dato che il terzo monomio avrà segno opposto, avremo}-y\\
\text{e infine il secondo monomio avrà stesso segno del primo monomio  e segno opposto}\\
\text{ rispetto al terzo, sarà positivo, quindi avremo }+3x\\
\Rightarrow\text{quindi il trinomio è } (2xy+3x-y)^2\\
\text{Osserviamo che anche potuto assegnare segno negativo al primo monomio e in tal caso }\\
\text{avremmo ottenuto }(-2xy-3x+y)^2,\text{ che equivale a }\\
((-1)2xy+3x-y)^2=(-1)^2(2xy+3x-y)^2=(2xy+3x-y)^2\\
\text{quindi non importa che segno decidiamo di assegnare al primo monomio!}\\
{\color{blue}2)}\frac14x^2+9x^2y^2+16y^4-3x^2y-24xy^3+4xy^2\Rightarrow \text{i possibili quadrati sono:}\\
\frac14,\ 9x^2y^2\ e\ 16y^4. \text{Vediamo se i doppi prodotti sono }3x^2y,\ 24xy^3\ e\ 4xy^2\\
2\cdot\Big(\frac12x\Big)\cdot(3xy)=3x^2y,\ 2\cdot\Big(\frac12\Big)\cdot(4y^2)=4xy^2\ e \ 2\cdot(3xy)\cdot(4y^2)=24xy^3\\
\text{Vediamo i segni dei doppi prodotti: }-3x^2y, \text{ ha segno negativo quindi }\\
\frac12x\ e\ 3xy \text{ hanno segno opposto}, -24xy^3\text{ ha segno positivo, quindi } 3xy\ e \ 4y^2\\
\text{hanno segno opposto e }+4xy^3\text{ ha segno positivo, quindi }\frac12x\ e\ 4y^2\text{ hanno stesso segno}\\
\Rightarrow \text{Se decidiamo di assegnare il segno + al primo monomio (cioè a }\frac12x)\\
\text{dato che il secondo monomio avrà segno opposto, avremo }-3xy\\
\text{e infine il terzo monomio avrà stesso segno del primo monomio  e segno opposto}\\
\text{ rispetto al secondo, quindi avremo }+4y^2\\
\Rightarrow\text{quindi il trinomio è } \Big(\frac12x-3xy+4y^2\Big)^2\\
\text{Osserviamo che anche potuto assegnare segno negativo al primo monomio e in tal caso }\\
\text{avremmo ottenuto }\Big(-\frac12x+3xy-4y^2\Big)^2,\text{ che equivale a }\\
\Big((-1)\frac12x-3xy+4y^2\Big)^2=(-1)^2\Big(\frac12x-3xy+4y^2\Big)^2=\Big(2xy+3x-y\Big)^2\\
\text{quindi non importa che segno decidiamo di assegnare al primo monomio!}

MCD e mcm tra monomi

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Il Massimo Comune Divisore tra un gruppo di monomi è dato da un monomio con come coefficiente il MCD tra i coefficienti e come parte letterale le lettere in comune tra tutti i monomi con il coefficiente più basso.

Il minimo comune divisore tra un gruppo di monomi è dato da un monomio con come coefficiente il mcm tra i coefficienti e come parte letterale le lettere sia in comune che non, con il coefficiente più alto.

{\color{blue}1)} 2a^3b^3c,\ 4a^2b^2c^2,\ 6ab^3c^4\\
MCD=2ab^2c\\
mcm=12a^3b^3c^4\\
{\color{blue}2)}3x^2yzw^2,\ 7x^2y^2w^3,\ 21x^3z^4w\\
MCD=x^2w\\
mcm=21x^3y^2z^4w^3\\
{\color{blue}3)}2xy^2m^3,\ 11x^2m^3n,\ 14y^3m^2\\
MCD=m^2\\
mcm=154x^2y^3m^3n\\
{\color{blue}4)}3x^2y^3z^4,\ 21y^3z^6w,\ 9z^6\\
MCD=3z^4\\
mcm=63x^2y^3z^6w

Esempi di semplificazioni di espressioni tra monomi:

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Vediamo alcuni esempi di semplificazioni tra monomi con prodotti notevoli e moltiplicazione

{\color{blue}1)} (ab)^2(ab^2)+3(a^3b)(4b^2)-5a(-3ab)^2b=\\
=a^3b^3+12a^3b^3-45a^3b^3=-32a^3b^3\\
{\color{blue}2)}(2a-b)(-2a-b)+(3a-2b)^2-3ab+(2a+b)(a+3b)=\\
{\color{blue}\underline{\color{black}{-4a^2}}}+{\color{green}\underline{\color{black}b^2}}+{\color{blue}\underline{\color{black}9a^2}}+{\color{green}\underline{\color{black}4b^2}}-{\color{yellow}\underline{\color{black}12ab}}-{\color{yellow}\underline{\color{black}3ab}}+{\color{blue}\underline{\color{black}2a^2}}+{\color{yellow}\underline{\color{black}6ab}}+{\color{yellow}\underline{\color{black}ab}}+{\color{green}\underline{\color{black}3b^2}}=\\
\color{black}{\color{blue}\underline{\color{black}{7a^2}}\color{black}+{\color{green}\underline{\color{black}8b^2}}-{\color{yellow}\underline{\color{black}8ab}}}\\
{\color{blue}3)}(2x-y)^2+(x-y)^3+(x-2y)(x+2y)+(x+2y)(2y+3y^2)=\\
{\color{blue}\underline{\color{black}{4x^2}}}+{\color{green}\underline{\color{black}{y^2}}}-{\color{pink}\underline{\color{black}{4xy}}}+{\color{yellow}\underline{\color{black}{x^3}}}-{\color{orange}\underline{\color{black}{y^3}}}-{\color{red}\underline{\color{black}{3x^2y}}}+{\color{purple}\underline{\color{black}{3xy^2}}}+{\color{blue}\underline{\color{black}{x^2}}}-{\color{green}\cancel{\underline{\color{black}{4y^2}}}}+{\color{pink}\underline{\color{black}{2xy}}}+{\color{purple}\underline{\color{black}{3xy^2}}}+{\color{green}\cancel{\underline{\color{black}{4y^2}}}}+{\color{orange}\underline{\color{black}{6y^3}}}=\\
{\color{yellow}\underline{\color{black}{x^3}}}{+\color{blue}\underline{\color{black}{5x^2}}}-{\color{red}\underline{\color{black}{3x^2y}}}-{\color{pink}\underline{\color{black}{2xy}}}+{\color{purple}\underline{\color{black}{6xy^2}}}+{\color{green}\underline{\color{black}{y^2}}}+{\color{orange}\underline{\color{black}{5y^3}}}\\
{\color{blue}4)}(2a+b)(2a-b)(4a^2+b^2)-(3a^2+b^2)^2=\\
(4a^2-b^2)(4a^2+b^2)-(9a^4+b^4+18a^2b^2)=\\
{\color{blue}\underline{\color{black}{16a^4}}}-{\color{green}\underline{\color{black}{b^4}}}-{\color{blue}\underline{\color{black}{9a^4}}}-{\color{blue}\underline{\color{black}{b^4}}}-{\color{yellow}\underline{\color{black}{18a^2b^2}}}=\\
{\color{blue}\underline{\color{black}{7a^4}}}-{\color{blue}\underline{\color{black}{2b^4}}}-{\color{yellow}\underline{\color{black}{18a^2b^2}}}\\
{\color{blue}5)}(a-2)(a-3)(2a+1)+(a-2)^3=\\
(a^2-3a-2a+6)(a-3)+a^3-6a^2+12a-8=\\
(a^2-5a+6)(a-3)+a^3-6a^2+12a-8=\\
{\color{blue}\underline{\color{black}{a^3}}}-{\color{green}\underline{\color{black}{3a^2}}}-{\color{green}\underline{\color{black}{5a^2}}}+{\color{yellow}\underline{\color{black}{15a}}}+{\color{yellow}\underline{\color{black}{6a}}}-18+{\color{blue}\underline{\color{black}{a^3}}}-{\color{green}\underline{\color{black}{6a^2}}}+{\color{yellow}\underline{\color{black}{12a}}}-8=\\
{\color{blue}\underline{\color{black}{2a^2}}}-{\color{green}\underline{\color{black}{14a^2}}}+{\color{yellow}\underline{\color{black}{33a}}}-26

Esempi di somma tra monomi (esercizi di base)

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Ricordiamo che un monomio è un’espressione algebrica, costituita soltanto da prodotti di fattori, sia numerici che letterali. Due monomi si dicono simili se hanno stessa parte letterale e in tal caso possiamo sommarli (sommandone i coefficienti), altrimenti non è possibile.

Vediamo alcuni esempi:

{\color{blue}1)}-{\color{blue}\underline{\color{black}a}}+{\color{green}\underline{\color{black}3b}}+{\color{purple}\underline{\color{black}2c}}+{\color{blue}\underline{\color{black}a}}+{\color{green}\underline{\color{black}2b}}=\\
={\color{blue}\underline{\color{black}(-1+1)\cdot a}}+{\color{green}\underline{\color{black}(3+2)\cdot b}}+{\color{purple}\underline{\color{black}2c}}={\color{blue}\underline{\color{black}0\cdot a}}+{\color{green}\underline{\color{black}5\cdot b}}+{\color{purple}\underline{\color{black}2c}}=\\
={\color{green}\underline{\color{black}5b}}+{\color{purple}\underline{\color{black}2c}}\\
{\color{blue}2)} {\color{blue}\underline{\color{black}5x}}+{\color{pink}\underline{\color{black}2y}}-{\color{red}\underline{\color{black}z}}+{\color{red}\underline{\color{black}3z}}-{\color{blue}\underline{\color{black}x}}=\\
={\color{blue}\underline{\color{black}(5-1)\cdot x}}+{\color{pink}\underline{\color{black}2y}}+{\color{red}\underline{\color{black}(-1+3)\cdot z}}={\color{blue}\underline{\color{black}4x}}+{\color{pink}\underline{\color{black}2y}}+{\color{red}\underline{\color{black}2z}}\\
{\color{blue}3)}-{\color{blue}\underline{\color{black}8x^3y}}+{\color{green}\underline{\color{black}3x^2y}}+{\color{purple}\underline{\color{black}2xy}}+{\color{blue}\underline{\color{black}x^3y}}-{\color{purple}\underline{\color{black}4xy}}+{\color{blue}\underline{\color{black}5x^3y}}=\\
={\color{blue}\underline{\color{black}(-8+1+5)\cdot x^3y}}+{\color{green}\underline{\color{black}3x^2y}}+{\color{purple}\underline{\color{black}(2-4)\cdot xy}}=-{\color{blue}\underline{\color{black}2x^3y}}+{\color{green}\underline{\color{black}3x^2y}}-{\color{purple}\underline{\color{black}2xy}}\\
{\color{blue}4)}{\color{blue}\underline{\color{black}ax}}+{\color{grren}\underline{\color{black}7ab}}+{\color{purple}\underline{\color{black}7ac}}+{\color{pink}\underline{\color{black}x}}+{\color{purple}\underline{\color{black}ac}}-{\color{blue}\underline{\color{black}6ax}}+{\color{green}\underline{\color{black}8ab}}+{\color{blue}\underline{\color{black}5ax}}=\\
={\color{blue}\underline{\color{black}(1-6+5)\cdot ax}}+{\color{green}\underline{\color{black}(7+8)\cdot ab}}+{\color{purple}\underline{\color{black}(7+1)\cdot ac}}+{\color{pink}\underline{\color{black}x}}=\\
={\color{blue}\underline{\color{black}0\cdot ax}}+{\color{green}\underline {\color{black}15\cdot ab}}+{\color{purple}\underline{\color{black}8\cdot ac}}+{\color{pin}\underline{\color{black}x}}=\\
={\color{green}\underline{\color{black}15ab}}+{\color{purple}\underline{\color{black}8ac}}+{\color{pink}\underline{\color{black}x}}\\
{\color{blue}5)}{\color{blue}\underline{\color{black}3x}}+{\color{green}\underline{\color{black}6x^2}}+{\color{red}\underline{\color{black}2}}+{\color{purple}\underline{\color{black}x^4}}-{\color{blue}\underline{\color{black}6x}}-{\color{red}\underline{\color{black}7}}+{\color{green}\underline{\color{black}7x^2}}-{\color{pink}\underline{\color{black}6x^3}}=\\
={\color{purple}\underline{\color{black}x^4}}-{\color{pink}\underline{\color{black}x^3}}+{\color{green}\underline{\color{black}(6+7)\cdot x^2}}+{\color{blue}\underline{\color{black}(3-6)\cdot x}}+{\color{red}\underline{\color{black}(2-7)}}=\\
={\color{purple}\underline{\color{black}x^4}}-{\color{pink}\underline{\color{black}x^3}}+{\color{green}\underline{\color{black}13x^3}}-{\color{blue}\underline{\color{black}3x}}-{\color{red}\underline{\color{black}5}}\\
{\color{blue}6)}{\color{blue}\underline{\color{black}6x^2}}+{\color{green}\underline{\color{black}xy}}-{\color{purple}\underline{\color{black}y^3}}+{\color{pink}\underline{\color{black}y}}-{\color{green}\underline{\color{black}2xy}}-{\color{blue}\underline{\color{black}x^2}}+{\color{yellow}\underline{\color{black}2y^2}}=\\
={\color{blue}\underline{\color{black}(6-1)\cdot x^2}}+{\color{green}\underline{\color{black}(1-2)\cdot xy}}+{\color{pink}\underline{\color{black}y}}+{\color{yellow}\underline{\color{black}2y^2}}-{\color{purple}\underline{\color{black}y^3}}=\\
={\color{blue}\underline{\color{black}5x^2}}-{\color{green}\underline{\color{black}xy}}+{\color{pink}\underline{\color{black}y}}+{\color{yellow}\underline{\color{black}2y^2}}-{\color{purple}\underline{\color{black}y^3}}\\

Ora vediamo altri esempi, nei quali introduciamo le parentesi (ricordiamo che se abbiamo un + davanti, si mantengono gli stessi segni, se c’è un – si invertono):

  • Togliamo le parentesi
  • Procediamo come nei casi precedenti
{\color{blue}1)}(-ab+4ab^2+c)+(-b-3a^2b)-(-c-ab^2+2a^2b)=\\
=-{\color{blue}\underline{\color{black}ab}}+{\color{green}\underline{\color{black}4ab^2}}+{\color{purple}\underline{\color{black}c}}-{\color{red}\underline{\color{black}b}}-{\color{pink}\underline{\color{black}3a^2b}}+{\color{purple}\underline{\color{black}c}}+{\color{green}\underline{\color{black}ab^2}}-{\color{pink}\underline{\color{black}2a^2b}}=\\
={\color{pink}\underline{\color{black}(-3-2)\cdot a^2b}}+{\color{green}\underline{\color{black}(4+1)\cdot ab^2}}-{\color{blue}\underline{\color{black}ab}}+{\color{red}\underline{\color{black}b}}+{\color{purple}\underline{\color{black}(1+1)\cdot c}}=\\
={\color{pink}\underline{\color{black}-5a^2b}}+{\color{green}\underline{\color{black}5ab^2}}-{\color{blue}\underline{\color{black}ab}}+{\color{red}\underline{\color{black}b}}+{\color{purple}\underline{\color{black}2c}}\\
{\color{blue}2)}(5xy^2-3x^2y+xy)-(-x^2y+4xy)+6x^2y-(-7xy+6x^2y)=\\
={\color{blue}\underline{\color{black}5xy^2}}-{\color{green}\underline{\color{black}3x^2y}}+{\color{red}\underline{\color{black}xy}}+{\color{green}\underline{\color{black}x^2y}}-{\color{red}\underline{\color{black}4xy}}+{\color{green}\cancel{\underline{\color{black}6x^2y}}}+{\color{red}\underline{\color{black}7xy}}-{\color{green}\cancel{\underline{\color{black}6x^2y}}}=\\
={\color{green}\underline{\color{black}(-3+1)\cdot x^2y}}+{\color{blue}\underline{\color{black}5x^2y}}+{\color{red}\underline{\color{black}(1-4+7)\cdot xy}}=\\
={\color{green}\underline{\color{black}-2x^2y}}+{\color{blue}\underline{\color{black}5x^2y}}+{\color{red}\underline{\color{black}4xy}}\\
{\color{blue}3)}\Big(\frac34ab^2+\frac12x^2\Big)-\Big(x^2-\frac13ab^2\Big)=\\
={\color{blue}\underline{\color{black}\frac34ab^2}}+{\color{green}\underline{\color{black}\frac12x^2}}-{\color{green}\underline{\color{black}x^2}}+{\color{blue}\underline{\color{black}\frac13ab^2}}=\\
={\color{blue}\underline{\color{black}\Big(\frac34+\frac13\Big)\cdot ab^2}}+{\color{gree}\underline{\color{black}\Big(\frac12-1\Big)\cdot x^2}}={\color{blue}\underline{\color{black}\frac{13}{12}ab^2}}-{\color{blue}\underline{\color{black}\frac12x^2}}

Esempi di moltiplicazione tra polinomi

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La moltiplicazione tra due polinomi ha come risultato un nuovo polinomio, che ha come suoi termini i prodotti parziali, che sono determinati dalla moltiplicazione di ciascun membro del primo polinomio con ciascun membro del secondo. Se vogliamo moltiplicare tra loro più di due polinomi, dobbiamo comunque moltiplicarne prima due, poi moltiplicare il risultato per il fattore successivo e così via, fino ad esauirli tutti.

Vediamo alcuni esempi della moltiplicazione tra due polinomi:

{\color{blue}1)} (x+2y)(2-3z)=2x-3xz+4y-6yz\\
 {\color{blue}2)} (-2m+n^2)(3n+m)=-6mn-2m^2+3n^3+mn^2\\
 {\color{blue}3)} (a-b)(3a^2+ab-b^2)=\\
={\color{blue}\underline{\color{black}3a^3} }+{\color{green}\underline{\color{black}a^2b}}-{\color{purple}\underline{\color{black}ab^2}}-{\color{green}\underline{\color{black}3a^2b}}-{\color{purple}\underline{\color{black}ab^2}}+{\color{red}\underline{\color{black}b^3}}={\color{blue}\underline{\color{black}3a^3}}-{\color{green}\underline{\color{black}2a^2b}}-{\color{purple}\underline{\color{black}2ab^2}}+{\color{red}\underline{\color{black}b^3}}\\
{\color{blue}4)} (2a+b)(a^2-b^2+2ab)=\\
={\color{blue}\underline{\color{black}2a^3}}-{\color{green}\cancel{\underline{\color{black}2ab^2}}}+{\color{purple}\underline{\color{black}4a^2b}}+{\color{purple}\underline{\color{black} a^2b}}-{\color{red}\underline{\color{black}b^3}}+{\color{green}\cancel{\underline{\color{black}2ab^2}}}={\color{blue}\underline{\color{black}2a^3}}+{\color{purple}\underline{\color{black}5a^2b}}-{\color{red}\underline{\color{black}b^3}}\\
{\color{blue}5)}(x^2+2y+3y^2)(2x+2xy)=\\
={\color{blue}\underline{\color{black}2x^3}}+{\color{green}\underline{\color{black}2x^3y}}+{\color{purple}\underline{\color{black}4xy}}+{\color{red}\underline{\color{black}4xy^2}}+{\color{red}\underline{\color{black}6xy^2}}+{\color{pink}\underline{\color{black}6xy^3}}=\\
={\color{blue}\underline{\color{black}2x^3}}+{\color{green}\underline{\color{black}2x^3y}}+{\color{purple}\underline{\color{black}4xy}}+{\color{red}\underline{\color{black}10xy^2}}+{\color{pink}\underline{\color{black}6xy^3}}\\
 {\color{blue}6)}\Big(\frac13x-\frac25y\Big)(2x^2+3xy-y^2)=\\
={\color{blue}\underline{\color{black}\frac23x^3}}+{\color{green}\underline{\color{black}x^2y}}-{\color{purple}\underline{\color{black}\frac13xy^2}}-{\color{green}\underline{\color{black}\frac45x^2y}}-{\color{purple}\underline{\color{black}\frac65xy^2}}+{\color{red}\underline{\color{black}\frac25y^3}}=\\
={\color{blue}\underline{\color{black}\frac23x^3}}+{\color{green}\underline{\color{black}\frac15x^2y}}-{\color{purple}\underline{\color{black}\frac{23}{15}xy^2}}+{\color{red}\underline{\color{black}\frac25y^3}}\\
{\color{blue}7)}(x+2xy-y)(y-4x^2+2x^2y)=\\
{\color{blue}\underline{\color{black}xy}}-{\color{green}\underline{\color{black}4x^3}}+{\color{purple}\underline{\color{black}2x^3y}}+{\color{pink}\underline{\color{black}2xy^2}}-{\color{purple}\underline{\color{black}8x^3y}}+{\color{yellow}\underline{\color{black}4x^3y^2}}-{\color{orange}\underline{\color{black}y^2}}+{\color{skyblue}\underline{\color{black}4x^2y}}-{\color{red}\underline{\color{black}2x^2y^2}}=\\
={\color{yellow}\underline{\color{black}4x^3y^2}}-{\color{purple}\underline{\color{black}6x^3y}}-{\color{green}\underline{\color{black}4x^3}}-{\color{red}\underline{\color{black}2x^2y^2}}+{\color{skyblue}\underline{\color{black}4x^2y}}+{\color{pink}\underline{\color{black}2xy^2}}+{\color{blue}\underline{\color{black}xy}}-{\color{orange}\underline{\color{black}y^2}}

Prodotti notevoli

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Quadrato di binomio:

La regola del quadrato di binomio è data da:

(A+B)^2 =A^2+B^2+2A\cdot B

con A e B monomi non simili.

Iniziamo vedendo alcuni esempi base:

{\color{blue}1)}(a+b)^2=a^2+b^2+2ab\\
{\color{blue}2)}(a-b)^2=a^2+b^2-2ab\\
{\color{blue}3)}(-a+b)^2=a^2+b^2-2ab\\
{\color{blue}4)}(-a-b)^2=a^2+b^2+2ab\\
{\color{blue}5)}(3x+2y)^2=9x^2+4y^2+12xy\\
{\color{blue}6)}(m-4n)^2=m^2+16n^2-8mn\\
{\color{blue}7)}(y+y^2)^2=y^2+y^4+2y^3\\
{\color{blue}8)}(-4mn^2+3m^2)^2=16m^2n^4+9m^4-24m^3n^2\\
{\color{blue}9)}\Big(\frac12a+\frac34b\Big)^2=\frac14a^2+\frac94b^2+\frac34ab\\
{\color{blue}10)}\Big(x-\frac12\Big)^2=x^2+\frac14-x\\
{\color{blue}11)}\Big(-2x^2-\frac34xy\Big)^2=4x^4+\frac94x^2y^2+3x^3y\\
{\color{blue}12)}\Big(-\frac73y^2+\frac27y^4\Big)^2=\frac{49}9y^4+\frac4{49}y^8-\frac43y^6

Osserviamo come nel doppio prodotto il segno dipenda dai segni interni: se sono uguali avremo doppio prodotto positivo, se sono diveri risulta negativo

Vediamo alcuni esempi di espressioni con il quadrato di binomio:

{\color{blue}1)}(x-2y)^2+(3x+y)^2={\color{blue}\underline{\color{black}x^2}}+{\color{green}\underline{\color{black}{4y^2}}}-{\color{red}\underline{\color{black}4xy}}+{\color{blue}\underline{\color{black}9x^2}}+{\color{green}\underline{\color{black}y^2}}+{\color{red}\underline{\color{black}6xy}}=\\
={\color{blue}\underline{\color{black}10x^2}}+{\color{green}\underline{\color{black}5y^2}}+{\color{red}\underline{\color{black}2xy}}\\
{\color{blue}2)}2(x-y)^2-3(2x+y)^2=2(x^2+y^2-2xy)-3(4x^2+y^2+4xy)=\\
={\color{blue}\underline{\color{black}2x^2}}+{\color{green}\underline{\color{black}2y^2}}-{\color{red}\underline{\color{black}4xy}}-{\color{blue}\underline{\color{black}12x^2}}-{\color{green}\underline{\color{black}3y^2}}-{\color{red}\underline{\color{black}12xy}}=-{\color{blue}\underline{\color{black}10x^2}}-{\color{green}\underline{\color{black}y^2}}-{\color{red}\underline{\color{black}16xy}}\\
{\color{blue}3)}\Big(x-\frac12\Big)^2-\Big(\frac12x+3\Big)^2={\color{blue}\underline{\color{black}x^2}}+{\color{green}\underline{\color{black}\frac14}}-{\color{red}\underline{\color{black}x}}-{\color{blue}\underline{\color{black}\frac14x^2}}-{\color{green}\underline{\color{black}9}}-{\color{red}\underline{\color{black}3x}}=\\
={\color{blue}\underline{\color{black}\frac34x^2}}-{\color{red}\underline{\color{black}4x}}-{\color{green}\underline{\color{black}\frac{35}4}}\\
{\color{blue}4)}\Big(\frac32x^2-2x\Big)^2-2(x^2+3x^4)^2+\Big(x^2-\frac72x\Big)^2=\\
={\color{blue}\underline{\color{black}\frac94x^4}}+{\color{green}\underline{\color{black}4x^2}}-{\color{red}\underline{\color{black}6x^3}}-2({\color{blue}\underline{\color{black}x^4}}+{\color{yellow}\underline{\color{black}9x^8}}+{\color{pink}\underline{\color{black}6x^6}})+{\color{blue}\underline{\color{black}x^4}}+{\color{green}\underline{\color{black}\frac{49}4x^2}}-{\color{red}\underline{\color{black}7x^3}}=\\
={\color{blue}\underline{\color{black}\frac94x^4}}+{\color{green}\underline{\color{black}4x^2}}-{\color{red}\underline{\color{black}6x^3}}-{\color{blue}{\underline{\color{black}2x^4}}}-{\color{yellow}\underline{\color{black}18x^8}}-{\color{pink}\underline{\color{black}12x^6}}+{\color{blue}\underline{\color{black}x^4}}+{\color{green}\underline{\color{black}\frac{49}4x^2}}-{\color{red}\underline{\color{black}7x^3}}=\\
=-{\color{yellow}\underline{\color{black}18x^8}}-{\color{pink}\underline{\color{black}12x^6}}+{\color{blue}\underline{\color{black}\frac54x^4}}-{\color{red}\underline{\color{black}13x^3}}+{\color{green}\underline{\color{black}\frac{57}4x^2}}

Somma per differenza:

Se consideriamo due monomi non simili A e B allora abbiamo:

(A+B)\cdot(A-B)=A^2-B^2

Vediamo alcuni casi base e alcuni in cui bisogna considerare un binomio come un unico fattore:

{\color{blue}1)}(x-1)(x+1)=x^2-1\\
{\color{blue}2)}(b-2)(b+2)=b^2-4\\
{\color{blue}3)}(2a+1)(2a-1)=4a^2-1\\
{\color{blue}4)}(x+2y)(x-2y)=x^2-4y^2\\
{\color{blue}5)}(-2x+3a)(2x+3a)=-4x^2+9a^2\\
{\color{blue}6)}(3a-5y)(-3a-5y)=-9a^2+25y^2\\
{\color{blue}7)}\Big(x^2+\frac12z\Big)\Big(x^2-\frac12z\Big)=x^4-\frac14z^2\\
{\color{blue}8)}\Big(\frac27x^2-\frac12y^3\Big)\Big(-\frac27x^2-\frac12y^3\Big)=-\frac{49}4x^4+\frac12y^6\\
{\color{blue}9)}(2a+b+1)(2a+b-1)=[(2a+b)+1][(2a+b)-1]=\\
=(2a+b)^2-1=4a^2+b^2+4ab-1\\
{\color{blue}10)}(3x+2y-3z)(3x-2y-3z)=[(3x-3z)+2y][(3x-3z)-2y]=\\
=(3x-3z)^2-4y^2=9x^2+9z^2-18xz-4y^2\\
{\color{blue}11)}(2x-y+z-3w)(2x-y-z+3w)=[(2x-y)+(z-3w)][(2x-y)-(z-3w)]=\\
=(2x-y)^2-(z-3w)^2=4x^2+y^2-4xy-(z^2+9w^2-6zw)=\\
=4x^2+y^2-4xy-z^2-9w^2+6zw

Osserviamo che, nel risultato, l’addendo con segno negativo è dato dall’elemento che cambia segno nei due fattori, mentre quello positivo è dato dall’elemento che non cambia segno (qualunque esso sia).

Vediamo qualche esempio di espressione con quadrato di binomio e somma per differenza:

{\color{blue}1)} (a+b)(a-b)-(2a+b)^2=a^2-b^2-(4a^2+b^2+4ab)=\\
={\color{blue}\underline{\color{black}a^2}}-{\color{red}\underline{\color{black}b^2}}-{\color{blue}\underline{\color{black}4a^2}}-{\color{red}\underline{\color{black}b^2}}-{\color{pink}\underline{\color{black}4ab}}=-{\color{blue}\underline{\color{black}5a^2}}-{\color{red}\underline{\color{black}2b^2}}-{\color{pink}\underline{\color{black}4ab}}\\
{\color{blue}2)}[(2a+b)(2ab)]^2=[4a^2-b^2]^2=16a^4+b^4-8a^2b^2\\
{\color{blue}3)}(3a-b)(3a+b)-(a-b)^2+(-2a)^2=9a^2-b^2-(a^2+b^2-2ab)+4a^2=\\
={\color{blue}\underline{\color{black}9a^2}}-{\color{red}\underline{\color{black}b^2}}-{\color{blue}\underline{\color{black}a^2}}-{\color{red}\underline{\color{black}b^2}}+{\color{green}\underline{\color{black}2ab}}+{\color{blue}\underline{\color{black}4a^2}}={\color{blue}\underline{\color{black}12a^2}}+{\color{green}\underline{\color{black}2ab}}-{\color{red}\underline{\color{black}2b^2}}\\
{\color{blue}4)}\Big(\frac12a+\frac13b\Big)^2+\Big(\frac12a-b\Big)\Big(\frac12a+b\Big)-\Big(\frac13b\Big)^2=\\
={\color{blue}\underline{\color{black}\frac14a^2}}+{\color{red}\cancel{\color{red}\underline{\color{black}\frac19b^2}}}+{\color{yellow}\underline{\color{black}\frac13ab}}+{\color{blue}\underline{\color{black}\frac14a^2}}-{\color{red}\underline{\color{black}b^2}}-{\color{red}\cancel{\color{red}\underline{\color{black}\frac19b^2}}}={\color{blue}\underline{\color{black}\frac12a^2}}+{\color{yellow}\underline{\color{black}\frac13ab}}-{\color{red}\underline{\color{black}b^2}}\\
{\color{blue}5)}\Big(\frac13x-y\Big)\Big(\frac13x+y\Big)\Big(y^2+\frac19x^2\Big)=\Big(\frac19x^2-y^2\Big)\Big(y^2+\frac19x^2\Big)=\\
=\frac1{81}x^4-y^4\\
{\color{blue}6)}(2a-3b)(2a+3b)(a-3b)-(-3a+2b)(2b+3a)(4b^2+9a^2)=\\
=(4a^2-9b^2)(a-3b)-(4b^2-9a^2)(4b^2+9a^2)=\\
=4a^3-12a^2b-9ab^2+27b^3-(16b^4-81a^4)=\\
={\color{blue}\underline{\color{black}4a^3}}-{\color{red}\underline{\color{black}12a^2b}}-{\color{pink}\underline{\color{black}9ab^2}}+{\color{yellow}\underline{\color{black}27b^3}}-{\color{green}\underline{\color{black}16b^4}}+{\color{orange}\underline{\color{black}81a^4}}=\\
={\color{orange}\underline{\color{black}81a^4}}+{\color{blue}\underline{\color{black}4a^3}}-{\color{red}\underline{\color{black}12a^2b}}-{\color{pink}\underline{\color{black}9ab^2}}+{\color{yellow}\underline{\color{black}27b^3}}+{\color{orange}\underline{\color{black}81a^4}}\\
{\color{blue}7)}(2m+n)^2+(m-3n)(2m-n)+(m-2n)^2=\\
={\color{blue}\underline{\color{black}4m^2}}+{\color{red}\underline{\color{black}n^2}}+{\color{green}\cancel{\color{green}\underline{\color{black}4mn}}}+{\color{blue}\underline{\color{black}2m^2}}-{\color{green}\underline{\color{black}mn}}-{\color{green}\underline{\color{black}6mn}}+{\color{red}\underline{\color{black}3n^2}}+{\color{blue}\underline{\color{black}m^2}}+{\color{red}\underline{\color{black}4n^2}}-{\color{green}\cancel{\color{green}\underline{\color{black}4mn}}}=\\
={\color{blue}\underline{\color{black}7m^2}}-{\color{green}\underline{\color{black}7mn}}+{\color{red}\underline{\color{black}8n^2}}

Cubo di binomio:

Consideriamo due monomi non simili A e B; la formula del cubo di binomio è data da:

(A+B)^3=A^3+3\cdot A^2+3\cdot AB^2+B^3
{\color{blue}1)} (2a+3b)^3=8a^3+3(4a^2\cdot3b)+3(2a\cdot9b^2)+27b^3=\\
8a^3+36a^2b+54ab^2+27b^3\\
{\color{blue}2)}(2a-3b)^3=8a^3+3[4a^2\cdot(-3b)]+3[2a\cdot(-3b)^2]+27b^3=\\
=8a^3-36a^2b+54ab^2-27b^3\\
{\color{blue}3)} (-2a+3b)^3=8a^3+3[(-4a)^2\cdot3b]+3[(-2a)\cdot3b^2]+27b^3=\\
=-8a^3-36a^2+54ab^2+27b^3\\
{\color{blue}4)} (-2a-3b)^3=8a^3+3[(-4a)^2\cdot(-3b)]+3[(-2a)\cdot(-3b)^2]+27b^3=\\
=-8a^3-36a^2-54ab^2-27b^3\\
{\color{blue}5)}\Big(\frac12x+2y\Big)^3=\frac18x^3+3\Big(\frac14x^2\cdot2y\Big)+3\Big(\frac12x+4y^2\Big)+8y^3=\\
=\frac18x^3+\frac32x^2y+6xy^2+8y^3\\
{\color{blue}6)} \Big(\frac13x-3y\Big)^3=\frac1{27}x^3+3\Big[\frac19x^2\cdot(-3y)\Big]+3\Big[\frac13x\cdot(-3y)^2\Big]-27y^3=\\
=\frac1{27}x^3-x^2y+9xy^2-27y^3

I monomi

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Iniziamo dando la definizione di monomio: è un’espressione formata da numeri e da lettere, legati dall’operazione di moltiplicazione; viene detto in forma ridotta se è presente un solo numero, detto coefficiente, che si mette all’inizio, e ogni lettera è ripetuta una sola volta. L’insieme di tutte le lettere è detto parte letterale. Vediamo alcune definizioni di casi particolari:

  • Monomio nullo: ha il coefficiente uguale a 0
  • Monomio intero: nessuna lettera ha esponente negativo
  • Monomio fratto: alcune lettere hanno esponente negativo
  • Monomi uguali: hanno sia parte letterale che coefficiente che segno uguali
  • Monomi opposti: hanno sia parte letterale che coefficiente uguali, ma segno opposto
  • Monomi simili: hanno stessa parte letterale uguale

Dato un monomio in forma ridotta, si dice grado rispetto ad una lettera l’esponente di tale lettera. Si dice grado del monomio la somma dei gradi rispetto ad ogni lettera. Vediamo alcuni esempi:

{\color{blue}1)}-2x3yx\text { non è in forma ridotta. Riduciamolo:}-6x^2y\\
\text{grado rispetto a x=2, grado rispetto a y=1, grado del monomio=3}\\
\text{monomio opposto}= 6x^2y\\
{\color{blue}2)}2ab^24c \text{ non è in forma ridotta. Riduciamolo:}8ab^2c\\
\text{grado rispetto ad a=1, grado rispetto a b=2, grado rispetto a c=1, grado del monomio=4}\\
\text{monomio opposto}= -8ab^2c\\
{\color{blue}3)}2xzyxzx3\text { non è in forma ridotta. Riduciamolo:}6x^3yz^2\\
\text{grado rispetto a x=3, grado rispetto a y=1, rado rispetto a z=2, grado del monomio=6}\\
\text{monomio opposto}= -6x^3yz^2\\

Esempi di somma tra monomi (esercizi di base)

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Ricordiamo che un monomio è un’espressione algebrica, costituita soltanto da prodotti di fattori, sia numerici che letterali. Due monomi si dicono simili se hanno stessa parte letterale e in tal caso possiamo sommarli (sommandone i coefficienti), altrimenti non è possibile.

Vediamo alcuni esempi: 

{\color{blue}1)}-{\color{blue}\underline{\color{black}a}}+{\color{green}\underline{\color{black}3b}}+{\color{purple}\underline{\color{black}2c}}+{\color{blue}\underline{\color{black}a}}+{\color{green}\underline{\color{black}2b}}=\\
={\color{blue}\underline{\color{black}(-1+1)\cdot a}}+{\color{green}\underline{\color{black}(3+2)\cdot b}}+{\color{purple}\underline{\color{black}2c}}={\color{blue}\underline{\color{black}0\cdot a}}+{\color{green}\underline{\color{black}5\cdot b}}+{\color{purple}\underline{\color{black}2c}}=\\
={\color{green}\underline{\color{black}5b}}+{\color{purple}\underline{\color{black}2c}}\\
{\color{blue}2)} {\color{blue}\underline{\color{black}5x}}+{\color{pink}\underline{\color{black}2y}}-{\color{red}\underline{\color{black}z}}+{\color{red}\underline{\color{black}3z}}-{\color{blue}\underline{\color{black}x}}=\\
={\color{blue}\underline{\color{black}(5-1)\cdot x}}+{\color{pink}\underline{\color{black}2y}}+{\color{red}\underline{\color{black}(-1+3)\cdot z}}={\color{blue}\underline{\color{black}4x}}+{\color{pink}\underline{\color{black}2y}}+{\color{red}\underline{\color{black}2z}}\\
{\color{blue}3)}-{\color{blue}\underline{\color{black}8x^3y}}+{\color{green}\underline{\color{black}3x^2y}}+{\color{purple}\underline{\color{black}2xy}}+{\color{blue}\underline{\color{black}x^3y}}-{\color{purple}\underline{\color{black}4xy}}+{\color{blue}\underline{\color{black}5x^3y}}=\\
={\color{blue}\underline{\color{black}(-8+1+5)\cdot x^3y}}+{\color{green}\underline{\color{black}3x^2y}}+{\color{purple}\underline{\color{black}(2-4)\cdot xy}}=-{\color{blue}\underline{\color{black}2x^3y}}+{\color{green}\underline{\color{black}3x^2y}}-{\color{purple}\underline{\color{black}2xy}}\\
{\color{blue}4)}{\color{blue}\underline{\color{black}ax}}+{\color{grren}\underline{\color{black}7ab}}+{\color{purple}\underline{\color{black}7ac}}+{\color{pink}\underline{\color{black}x}}+{\color{purple}\underline{\color{black}ac}}-{\color{blue}\underline{\color{black}6ax}}+{\color{green}\underline{\color{black}8ab}}+{\color{blue}\underline{\color{black}5ax}}=\\
={\color{blue}\underline{\color{black}(1-6+5)\cdot ax}}+{\color{green}\underline{\color{black}(7+8)\cdot ab}}+{\color{purple}\underline{\color{black}(7+1)\cdot ac}}+{\color{pink}\underline{\color{black}x}}=\\
={\color{blue}\underline{\color{black}0\cdot ax}}+{\color{green}\underline {\color{black}15\cdot ab}}+{\color{purple}\underline{\color{black}8\cdot ac}}+{\color{pin}\underline{\color{black}x}}=\\
={\color{green}\underline{\color{black}15ab}}+{\color{purple}\underline{\color{black}8ac}}+{\color{pink}\underline{\color{black}x}}\\
{\color{blue}5)}{\color{blue}\underline{\color{black}3x}}+{\color{green}\underline{\color{black}6x^2}}+{\color{red}\underline{\color{black}2}}+{\color{purple}\underline{\color{black}x^4}}-{\color{blue}\underline{\color{black}6x}}-{\color{red}\underline{\color{black}7}}+{\color{green}\underline{\color{black}7x^2}}-{\color{pink}\underline{\color{black}6x^3}}=\\
={\color{purple}\underline{\color{black}x^4}}-{\color{pink}\underline{\color{black}x^3}}+{\color{green}\underline{\color{black}(6+7)\cdot x^2}}+{\color{blue}\underline{\color{black}(3-6)\cdot x}}+{\color{red}\underline{\color{black}(2-7)}}=\\
={\color{purple}\underline{\color{black}x^4}}-{\color{pink}\underline{\color{black}x^3}}+{\color{green}\underline{\color{black}13x^3}}-{\color{blue}\underline{\color{black}3x}}-{\color{red}\underline{\color{black}5}}\\
{\color{blue}6)}{\color{blue}\underline{\color{black}6x^2}}+{\color{green}\underline{\color{black}xy}}-{\color{purple}\underline{\color{black}y^3}}+{\color{pink}\underline{\color{black}y}}-{\color{green}\underline{\color{black}2xy}}-{\color{blue}\underline{\color{black}x^2}}+{\color{yellow}\underline{\color{black}2y^2}}=\\
={\color{blue}\underline{\color{black}(6-1)\cdot x^2}}+{\color{green}\underline{\color{black}(1-2)\cdot xy}}+{\color{pink}\underline{\color{black}y}}+{\color{yellow}\underline{\color{black}2y^2}}-{\color{purple}\underline{\color{black}y^3}}=\\
={\color{blue}\underline{\color{black}5x^2}}-{\color{green}\underline{\color{black}xy}}+{\color{pink}\underline{\color{black}y}}+{\color{yellow}\underline{\color{black}2y^2}}-{\color{purple}\underline{\color{black}y^3}}\\

Ora vediamo altri esempi, nei quali introduciamo le parentesi (ricordiamo che se abbiamo un + davanti, si mantengono gli stessi segni, se c’è un – si invertono):

  • Togliamo le parentesi
  • Procediamo come nei casi precedenti
{\color{blue}1)}(-ab+4ab^2+c)+(-b-3a^2b)-(-c-ab^2+2a^2b)=\\
=-{\color{blue}\underline{\color{black}ab}}+{\color{green}\underline{\color{black}4ab^2}}+{\color{purple}\underline{\color{black}c}}-{\color{red}\underline{\color{black}b}}-{\color{pink}\underline{\color{black}3a^2b}}+{\color{purple}\underline{\color{black}c}}+{\color{green}\underline{\color{black}ab^2}}-{\color{pink}\underline{\color{black}2a^2b}}=\\
={\color{pink}\underline{\color{black}(-3-2)\cdot a^2b}}+{\color{green}\underline{\color{black}(4+1)\cdot ab^2}}-{\color{blue}\underline{\color{black}ab}}+{\color{red}\underline{\color{black}b}}+{\color{purple}\underline{\color{black}(1+1)\cdot c}}=\\
={\color{pink}\underline{\color{black}-5a^2b}}+{\color{green}\underline{\color{black}5ab^2}}-{\color{blue}\underline{\color{black}ab}}+{\color{red}\underline{\color{black}b}}+{\color{purple}\underline{\color{black}2c}}\\
{\color{blue}2)}(5xy^2-3x^2y+xy)-(-x^2y+4xy)+6x^2y-(-7xy+6x^2y)=\\
={\color{blue}\underline{\color{black}5xy^2}}-{\color{green}\underline{\color{black}3x^2y}}+{\color{red}\underline{\color{black}xy}}+{\color{green}\underline{\color{black}x^2y}}-{\color{red}\underline{\color{black}4xy}}+{\color{green}\cancel{\underline{\color{black}6x^2y}}}+{\color{red}\underline{\color{black}7xy}}-{\color{green}\cancel{\underline{\color{black}6x^2y}}}=\\
={\color{green}\underline{\color{black}(-3+1)\cdot x^2y}}+{\color{blue}\underline{\color{black}5x^2y}}+{\color{red}\underline{\color{black}(1-4+7)\cdot xy}}=\\
={\color{green}\underline{\color{black}-2x^2y}}+{\color{blue}\underline{\color{black}5x^2y}}+{\color{red}\underline{\color{black}4xy}}\\
{\color{blue}3)}\Big(\frac34ab^2+\frac12x^2\Big)-\Big(x^2-\frac13ab^2\Big)=\\
={\color{blue}\underline{\color{black}\frac34ab^2}}+{\color{green}\underline{\color{black}\frac12x^2}}-{\color{green}\underline{\color{black}x^2}}+{\color{blue}\underline{\color{black}\frac13ab^2}}=\\
={\color{blue}\underline{\color{black}\Big(\frac34+\frac13\Big)\cdot ab^2}}+{\color{gree}\underline{\color{black}\Big(\frac12-1\Big)\cdot x^2}}={\color{blue}\underline{\color{black}\frac{13}{12}ab^2}}-{\color{blue}\underline{\color{black}\frac12x^2}}