La forma trigonometrica dei numeri complessi
Dopo aver visto la forma algebrica dei numeri complessi in La forma algebrica dei numeri complessi – Paraboliamo, vediamone una rappresentazione alternativa: la loro forma trigonometrica.
Supponiamo di avere il numero complesso
z=x+iy\enspace,
Sappiamo di poterlo rappresentare nel piano cartesiano come:
Allora possiamo considerare un altro modo per esprimere univocamente tale punto: attraverso la sua distanza dal centro 0 e l’angolo che si forma rispetto all’asse delle x:
Osserviamo come, anche in questo caso, le due coordinate rendano univocamente determinato il punto che stiamo considerando (a meno di multipli interi di 2π per quanto riguarda l’angolo).
Da queste due coordinate, il numero in forma trigonometrica si esprimerà come:
z=\rho(\cos\theta+i\sin\theta)
Si può sempre passare dalle coordinate cartesiane a quelle polari: vediamo come procedere
Passaggio alle coordinate polari date le coordinate cartesiane
Dato un numero complesso
z=x+iy\enspace,
allora calcoliamo le sue coordinate polari come:
\rho=|z|=\sqrt{x^2+y^2}\enspace,\\
\text{mentre per il calcolo dell'angolo }\theta \text{ dobbiamo risolvere il sistema }\\
\ \\
\begin{cases}
x=r\cos\theta\\
y=r\sin\theta
\end{cases}\\
\ \\Quindi il numero complesso in forma trigonometrica si esprimerà come:
z=\rho(\cos\theta+i\sin\theta)\enspace.
Osserviamo come la forma
\rho(\cos\theta-i\sin\theta)
non sia la forma trigonometrica di un numero complesso mentre, se lo riscriviamo nella forma
\rho(\cos(-\theta)+i\sin(-\theta))\enspace,
ottenuta grazie alle formule di trigonometria degli archi associati:
\cos(-\theta)=\cos\theta\enspace,\\ \sin(-\theta)=-\sin\theta\enspace,
sia la forma trigonometrica di un numero complesso.
Vediamo qualche esempio di calcolo della forma trigonometrica di un numero complesso dato in forma algebrica.
{\color{blue}1)}\text{Consideriamo il numero complesso}\\
z=-\sqrt3+i\enspace,\\
\text{Calcoliamone la forma trigonometrica.}\\
\text{Iniziamo a rappresentarlo nel piano cartesiano, per visualizzare meglio il punto.}
A questo punto, passiamo a calcolare le due componenti trigonometriche:
\text{Iniziamo sempre dal calcolo di }\rho \text{ dato che questo valore è necessario}\\
\text{per il calcolo del valore di }\theta:\\
\rho=\sqrt{(-\sqrt3)^2+1^2}=2\\
\ \\
\begin{cases}
1=2\sin\theta\\
-\sqrt3=2\cos\theta
\end{cases}\\
\ \\
\begin{cases}
\sin\theta=\frac12\\
\cos\theta=\frac{-\sqrt3}2
\end{cases}\\
\ \\
\text{Da cui otteniamo }\theta=\frac56\pi\enspace.Da queste informazioni, la forma trigonometrica del numero complesso è:
z=2\Big(\cos\frac56\pi+i\sin\frac56\pi\Big)\enspace.
{\color{blue}1)}\text{Consideriamo il numero complesso}\\
w=1-i\enspace,\\
\text{Calcoliamone la forma trigonometrica.}\\
\text{Iniziamo a rappresentarlo nel piano cartesiano, per visualizzare il punto.}
Calcoliamo le componenti trigonometriche:
\text{Calcoliamo il valore di }\rho:\\
\rho=\sqrt{1^2+(-1)^2}=\sqrt2\\
\ \\
\begin{cases}
1=\sqrt2\cos\theta\\
-1=\sqrt2\sin\theta
\end{cases}\\
\ \\
\begin{cases}
\cos\theta=\frac1{\sqrt2}\\
\sin\theta=-\frac1{\sqrt2}
\end{cases}\\
\ \\
\text{che, razionalizzando, diventa}\\
\ \\
\begin{cases}
\cos\theta=\frac{\sqrt2}2\\
\sin\theta=-\frac{\sqrt2}2\end{cases}\\
\ \\
\text{Da cui otteniamo }\theta=\frac34\piDa queste informazioni, la forma trigonometrica del numero complesso è:
z=2\Big(\cos\frac34\pi+i\sin\frac34\pi\Big)\enspace.
Le operazioni tra numeri complessi in forma trigonometrica
Vediamo come possiamo eseguire operazioni tra numeri complessi espressi in forma trigonometrica.
\text{Consideriamo due numeri complessi}\\
z=r(\cos\theta+i\sin\theta)\enspace,\\
w=s(\cos\psi+i\sin\psi)\enspace.\\
\ \\
\text{Allora il loro prodotto vale:}\\
z\cdot w= r\cdot s(\cos(\theta+\psi)+i\sin(\theta+\psi))\enspace,\\
\ \\
\text{cioè moltiplicare un numero complesso per un altro significa moltiplicare tra loro}\\
\text{i moduli e sommare tra loro gli angoli (e questo significa ruotare l'angolo di }z\\
\text{dell'angolo di }w).Dimostriamo la validità di questa formula:
{\color{blue}\text{Consideriamo i due numeri complessi}}\\
{\color{blue}z=r(\cos\theta+i\sin\theta) \text{ e } w=s(\cos\psi+i\sin\psi)\enspace.}\\
{\color{blue}\text{Allora, se li moltiplichiamo e ricordiamo le formule dii addizione di seno e coseno}}\\
{\color{green}\cos(\alpha\pm\beta)=\cos\alpha\cos\beta\mp\sin\alpha\sin\beta\enspace,}\\
{\color{orange}\sin(\alpha\pm\beta)=\sin\alpha\cos\beta\pm\sin\beta\cos\alpha\enspace,}\\
{\color{blue}\text{otteniamo:}}\\
{\color{blue}z\cdot w=r\cdot s(\cos\theta\cos\psi+i\cos\theta\sin\psi+i\sin\theta\cos\psi+i^2\sin\theta\sin\psi)=}\\
{\color{blue}=r\cdot s(cos\theta\cos\psi+i\cos\theta\sin\psi+i\sin\theta\cos\psi-\sin\theta\sin\psi)=}\\
{\color{blue}=r\cdot s[({\color{green}\cos\theta\cos\psi-\sin\theta\sin\psi})+i({\color{orange}\sin\psi\cos\theta+\sin\theta\cos\psi})]=}\\
{\color{blue}=r\cdot s({\color{green}\cos(\theta+\psi)}+i{\color{orange}\sin(\theta+\psi)})\enspace.\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \square}Da quanto appena visto per la moltiplicazione, possiamo ricavare anche come si comporta l’elevamento a potenza:
\text{Consideriamo il numero complesso}\\
z=r(\cos\theta+i\sin\theta), z\ne0\enspace.\\
\ \\
\text{Allora il suo elevamento alla potenza }n-\text{esima vale:}\\
z^n=|r|^n(\cos(n\theta)+i\sin(n\theta))\enspace.\\
\ \\
\text{Diamo esplicitamente un caso particolare dell'elevamento a potenza: il reciproco}\\
\text{del numero complesso }z:\\
z^{-1}=|r|^{-1}(\cos(-\theta)+i\sin(-\theta))\enspace.Infine, vediamo cosa vuol dire fare l’operazione di coniugio su un numero complesso scritto in forma trigonometrica:
\text{Consideriamo il numero complesso}\\
z=r(\cos\theta+i\sin\theta), z\ne0\enspace.\\
\ \\
\text{Allora il suo coniugato vale:}\\
\overline z=r(\cos(-\theta)+i\sin(-\theta)\enspace, \\
\text{cioè stiamo mantenendo la stessa norma del numero complesso originale}\\
\text{e stiamo considerando l'angolo simmetrico rispetto all'asse reale.}\\
\text{Ma questo è proprio il significato geometrico del coniugato!}
