Possiamo utilizzare la regola dell’annullamento del prodotto: cerchiamo di annullare i fattori presi singolarmente
f_1=0\Rightarrow x^2+3\Rightarrow \text{abbiamo un quadrato sommato al numero positivo 1}\\
\Rightarrow \text{non si può mai annullare}\Rightarrow \nexists x\in\R\\
f_2=0\Rightarrow e^{3x+1}\Rightarrow \text{abbiamo un esponenziale}\\
\Rightarrow\text{anche questo fattore non si può mai annulare}\Rightarrow \nexists x\in\R
Quindi la funzione non ha alcuna intersezione con l’asse delle x.
Calcoliamo la positività della funzione facendo un fattore alla volta e poi usando la tavola dei segni:
f_1\geq0\Rightarrow x^2+1\geq0\Rightarrow\text{Somma di un quadrato con un numero positivo}\\
\Rightarrow\forall x \in \R\\
f_2\geq0 \Rightarrow e^{3x+1}\geq0\Rightarrow \text{Esponenziale, quindi sempre positivo}\\
\Rightarrow\forall x \in \R
Tavola dei segni
Quindi a funzione è sempre positiva.
Aggiorniamo il grafico:
Segno della funzione
Studio dei limiti
Non abbiamo buchi nel dominio, quindi dobbiamo guardare solo cosa succede all’infinito
Quindi non abbiamo asintoto orizzontale. Verifichiamo l’esistenza dell’asintoto obliquo:
\underset{x\rightarrow+\infty}{\lim} \frac{(x^2+1)e^{3x+1}}{x}=\Big[\frac\infty\infty\Big]\\
\ \\
\text{Questa forma di indecisione si risolve raccogliendo il grado massimo:}\\
\ \\
\underset{x\rightarrow+\infty}{\lim} \frac{e^{3x}}{x}=+\infty\\
\ \\
\text{dove l'ultima uguaglianza derva dal confronto tra infiniti}\\
\text{quindi a destra non abbiamo alcun asintoto}\\
\underset{x\rightarrow-\infty}{\lim}(x^2+1)e^{3x+1}=+\infty\cdot0 \\
\text{Per risolvere questa forma di indecisione riscriviamo il limite come:}\\
\ \\
\underset{x\rightarrow-\infty}{\lim}\frac{x^2+1}{e^{-3x-1}}=\Big[\frac{\infty}{\infty}\Big]\\
\ \\
\text{Come prima risolviamo questa forma di indecisione raccogliendo il grado massimo:}\\
\ \\
\underset{x\rightarrow-\infty}{\lim}\frac{x^2}{e^{-3x}}=0\\
\ \\
\text{dove l'ultima uguaglianza deriva dal confronto tra infiniti}.\\
\text{A sinistra abbiamo l'asintoto orizzontale}\\ x=0
Limiti agli estremi
Calcoliamo la derivata prima per poter individuare gli intervalli di crescita e decrescita della funzione, i massimi, i minimi e i flessi a tangente orizzontale.
Come prima, risolviamo questa disequazione studiando il segno di un fattore alla volta
f_1\geq0\Rightarrow e^{3x+1}\geq0\Rightarrow\forall x \in\R\\
f_2\geq0\Rightarrow3x^2+2x+3\geq0\\
\text{Per risolvere questa disequazione iniziamo calcolando il }\Delta \text{associato}\\
\Delta=2^2-4\cdot3\cdot3=4-36<0\\
\text{quindi l'equazione associata non ha soluzione. Dato che abbiamo concordia }\\
\text{tra il coefficiente di }x^2 \text{ e }\geq \text{questo fattore è sempre}\geq 0\\
f_2\geq0 \Rightarrow\forall x \in \R
Segno derivata prima
Quindi la derivata prima è sempre positiva, cioè la funzione cresce sempre e non abbiamo massimi né minimi.
In questo esempio proviamo anche a calcolare la derivata seconda per individuare la concavità della funzione e i possibili flessi
Passiamo al calcolo del segno della derivataseconda
f''(x)\geq0\Rightarrow e^{3x+1}(9x^2+12x+11)\geq0\\
f_1\geq0\Rightarrow e^{3x+1}\geq0\Rightarrow0\\
f_2\geq0\Rightarrow 9x^2+12x+11\geq0\\
\Delta=12^2-4\cdot9\cdot11=144-396<0\\
\text{Come per la derivata prima abbiamo concordia tra il coefficiente di} x \text { e }\ge\\
f_2\ge0\Rightarrow \forall x\in \R
Segno derivata seconda
La derivata seconda è sempre positiva, quindi abbiamo sempre la concavità verso l’alto e nessun punto di flesso.
Ritornando alla disequazione: dato che abbiamo concordia tra il coefficiente di x2 ed il predicato della disequazione, la soluzione è data dagli intervalli esterni
In questo caso non siamo riusciti a risolvere la forma di indecisione.
Dato che abbiamo una radice, proviamo facendo una razionalizzazione inversa, cioè moltiplichiamo e dividiamo per lo stesso valore in modo tale da eliminare la radice a numeratore. In questo caso usiamo il prodotto notevole somma per differenza dato che ho due addendi.
Abbiamo trovato una q finita, quindi abbiamo l’asintoto obliquo anche a sinistra:
y=mx+q=x
Il grafico diventa
Asintoti obliqui
Calcoliamo la derivata prima per poter individuare gli intervalli di crescita e decrescita della funzione, i massimi, i minimi e i flessi a tangente orizzontale.
f'(x)=\frac{x}{2\sqrt{x^2-1}}+2
Osserviamo che in questo caso il dominio della derivata è più piccolo rispetto a quello della funzione.
Questo nel piano cartesiano si traduce in due buchi:
Dominio
In questo caso non dobbiamo verificare le simmetrie notevoli (cioè la parità o la disparità) perché già le condizioni di esistenza non sono simmetriche né rispetto all’origine né rispetto all’asse delle y.
Intersezioni con l’asse delle x:
\\
\ \\
Risolviamo la seconda equazione: una frazione vale 0 se e solo se il suo numeratore vale 0
x+1=0\Rightarrow x=-1
Questo punto però non è accettabile perché non appartiene al dominio, quindi non abbiamo intersezioni con l’asse delle x.
Dovremmo cercare anche l’intersezione con l’asse delle y, ma sappiamo che con questo asse possiamo averne al massimo una, quindi avendo già trovato l’origine, è inutile cercarne altre.
Il piano diventa:
Punti di intersezione
Studiamo la positività della funzione:
y=x^4+x^3-2x\geq0
Usiamo la scomposizione trovata al punto precedente:
ma in questo caso non riusciamo a scomporre, quindi usiamo un programma per trovare gli zeri di una funzione che ci dà come risultato
x\geq0,6
Quindi la tavola dei segni della derivata prima diventa
Segno della derivata
Dove le frecce servono per ricordare che quando la derivata è positiva la funzione cresce, mentre quando è negativa decresce. Grazie a questo vediamo che il punto 0,6 è un minimo relativo
