Esercizi sui vettori con coordinate polari
Iniziamo vedendo qualche esempio della rappresentazione tramite coordinate polari.
Ricordiamo che anche in questo caso abbiamo due valori: il primo rappresenta ρ, cioè la norma del vettore, mentre il secondo rappresenta θ, cioè l’angolo tra OP ed il semiasse positivo delle x.
{\color{blue} \rho=1,\ \theta=0}\\
{\color{green} \rho=2,\ \theta= \pi} \\
\ \\
{\color{orange} \rho=1,\ \theta=\frac{3\pi}{4}}\\
\ \\
{\color{red} \rho=1,5,\ \theta= -\frac{\pi}{4}}\\
\ \\
{\color{purple} \rho=2,5,\ \theta=\frac{7\pi}{6}}
Vediamo cosa possiamo rappresentare se abbiamo una sola delle coordinate polari.
Se abbiamo solo la norma, graficamente dobbiamo rappresentare delle circonferenze con centro l’origine e raggio il valore dato (questo perché per definizione la circonferenza è proprio il luogo geometrico dei punti equidistanti dal centro). Vediamo qualche esempio:
{\color{blue} \rho=2}\\
{\color{green}\rho=0,5}\\
{\color{orange}\rho=1,5}Quindi graficamente:
Se abbiamo solo l’angolo, graficamente dobbiamo rappresentare delle semirette, con punto iniziale l’origine e l’inclinazione data proprio da θ. Vediamo qualche esempio:
{\color{blue}\theta=\frac{5\pi}{6}}\\
\ \\
{\color{green}\theta =-\frac{\pi}{2}}\\
\ \\
{\color{orange}\theta=\frac{\pi}{4}}\\Graficamente:
Ricordiamo che l’origine ha ρ=0 e θ non definito, ma è l’unico punto nel piano cartesiano che ha queste caratteristiche.
Ora vediamo come passare dalle coordinate polari alle coordinate cartesiane e viceversa:
se conosciamo ρ e θ ricaviamo x e y nel modo seguente:
x=\rho\cos\theta\\ y=\rho\sin\theta
Mentre, se abbiamo x e y e vogliamo ρ e θ:
\rho=\sqrt{x^2+y^2}\\
\ \\
\tan\theta=\frac{y}{x}dove per decidere che angolo θ prendere tra i due che otteniamo calcolando l’arcotangente, guardiamo in che quadrante era il punto indicato da x e y.
Passiamo a qualche conversione effettiva tra un tipo di coordinate e l’altro: iniziamo da quelle polari a quelle cartesiane.
{\color{blue}\rho=1,\ \theta=0\Rightarrow\ x=1\cdot\cos0=1\cdot1=1,\ y=1\cdot\sin0=1\cdot0=0}\\
{\color{green}\rho=2,\theta=\pi\Rightarrow\ x=2\cdot\cos\pi=2\cdot(-1)=-2, \ y=2\cdot\sin\pi=2\cdot0=0}\\
\ \\
{\color{orange}\rho=1,\ \theta=\frac{3\pi}{4}\Rightarrow\ x=1\cdot\cos\frac{3\pi}{4}=1\cdot\Big(-\frac{\sqrt2}{2}\Big)=-\frac{\sqrt2}{2}\approx-0,7}\\
\ \\
{\color{orange}y=1\cdot\sin\frac{3\pi}{4}=1\cdot\Big(\frac{\sqrt2}{2}\Big)=\frac{\sqrt2}{2}\approx 0,7}\\
\ \\
{\color{red}\rho=1,5 ,\ \theta=\frac{-\pi}{4}\Rightarrow\ x=1,5\cdot\cos\frac{-\pi}{4}=1,5\cdot\Big(\frac{\sqrt2}{2}\Big)=\frac{1,5\sqrt2}{2}\approx1}\\
\ \\
{\color{red}y=1,5\cdot\sin\frac{-\pi}{4}=1,5\cdot\Big(-\frac{\sqrt2}{2}\Big)=-\frac{1,5\sqrt2}{2}\approx-1}\\
\ \\
{\color{purple}\rho=2,5,\ \theta=\frac{7\pi}{6}\Rightarrow}
{\color{purple}x=2,5\cdot\cos\frac{7\pi}{6}=2,5\cdot\Big(-\frac{\sqrt3}{2}\Big)=-\frac{2,5\sqrt3}{2}\approx-2,1}\\
\ \\
{\color{purple}y=2,5\cdot\sin\frac{7\pi}{6}=2,5\cdot\Big(-\frac{\sqrt1}{2}\Big)=-\frac{2,5}{2}\approx-1,25}Ora l’operazione inversa: passiamo dalle coordinate cartesiane a quelle polari.
{\color{blue}\vec a=(1,1)}\ \ {\color{green}\vec b=(-2,0)}\ \ {\color{orange}\vec c=(-0,5,-2,4)}\ \ {\color{red}\vec d=(2,-1,5)}\ \ {\color{purple}\vec e=(-1,2)}Rappresentiamoli nel piano:
Applichiamo le formule date in precedenza:
{\color{blue}\vec a=(1,1)\Rightarrow\ \rho=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{1+1}=\sqrt2\approx 1,4}\\
\ \\
{\color{blue} \tan\theta=\frac{1}{1}\Rightarrow \tan\theta=1\Rightarrow\text{per il calcolo di }\theta\text{ uso l'arcotangente}}\\
\ \\
{\color{blue}\text{che mi darà sempre un angolo compreso tra } -\frac\pi2<\theta<\frac\pi 2}\\
\ \\
{\color{blue}\text{Una volta individuato tale angolo controlliamo in che quadrante si trova }}\\
{\color{blue}\text{il punto di partenza grazie alle sue coordinate cartesiane: se è nel primo }}\\
{\color{blue}\text{o nel quarto quadrante abbiamo finito, altrimenti usiamo gli archi}} \\
{\color{blue}\text{associati per spostarci nel quadrante che ci serve}}\\
\ \\
{\color{blue}\arctan1=\frac\pi4}\\
\ \\
{\color{blue}\text{Il punto di partenza ha entrambe le componenti positive, quindi è nel}}\\
\ \\
{\color{blue}\text{primo quadrante}\Rightarrow\rho=\sqrt2,\ \theta=\frac\pi4}\\
\ \\
{\color{green}\vec b=(-2,0)\Rightarrow\rho=\sqrt{(-2)^2+0^2}=\sqrt{4+0}=\sqrt4=2}\\
\ \\
{\color{green}\tan\theta=\frac{0}{-2}\Rightarrow\tan\theta=0}\\
\ \\
{\color{green}\arctan0=0}\\
{\color{green}\text{il punto di partenza ha ascissa negativa e ordinata nulla: siamo sull'asse }}\\
{\color{green}\text{delle x tra 2 e 3 quadrante}\Rightarrow\text{per trovare il valore esatto di }\theta }\\
{\color{green}\text{ricordiamo gli archi associati}\Rightarrow\tan\alpha=\tan(\pi+\alpha)}\\
{\color{green}\text{quindi, nel nostro caso, }\theta=0+\pi=\pi}\\
{\color{green}\text{In conclusione}\Rightarrow\rho=2,\ \theta=\pi}\\
\ \\
{\color{orange}\vec c=(-0,5,-2,4)\Rightarrow\rho=\sqrt{(-0,5)^2+(-2,4)^2}=\sqrt{0,25+5,76}=}\\
{\color{orange}=\sqrt{6,01}\approx2,4}\\
\ \\
{\color{orange}\tan\theta=\frac{-2,4}{-0,5}\Rightarrow \tan\theta=4,8}\\
\ \\
{\color{orange}\arctan4,8\approx78,2 \text{°}=\frac{391\pi}{900}}\\
\ \\
{\color{orange}\text{il punto di partenza ha sia ascissa che ordinata negative: siamo nel}}\\
{\color{orange}\text{terzo quadrante}\Rightarrow\text{riutilizzo gli archi associati}}\\
\ \\
{\color{orange}\theta=\pi+\frac{391\pi}{900}=\frac{1291\pi}{900}}\\
\ \\
{\color{orange}\text{In conclusione}\Rightarrow \rho=\sqrt{6,01}\ \theta=\frac{1291\pi}{900}}\\
\ \\
{\color{red}\vec d=(2,-1,5)\Rightarrow\rho=\sqrt{2^2+(-1,5)^2}=\sqrt{4+2,25}=\sqrt{6,25}=2,5}\\
\ \\
{\color{red}\tan\theta=\frac{-1,5}{2}\Rightarrow\tan\theta=-0,75}\\
\ \\
{\color{red}\arctan-0,75\approx-36,9\text{°}=\frac{-41\pi}{200}}\\
\ \\
{\color{red}\text{il punto di partenza ha ascissa positiva e ordinata negativa: siamo nel}}\\
{\color{red}\text{quarto quadrante, quindi non dobbiamo modificare }\theta}\\
\ \\
{\color{red}\text{In conclusione}\Rightarrow\rho=2,5,\ \theta=-\frac{41\pi}{200}}\\
\ \\
{\color{purple}\vec e=(-1,2)\Rightarrow\rho=\sqrt{(-1)^2+2^2}=\sqrt{1+4}=\sqrt5\approx2,2}\\
\ \\
{\color{purple}\tan\theta=\frac{2}{-1}\Rightarrow\tan\theta=-2}\\
\ \\
{\color{purple}\arctan-2\approx-63,4\text{°}=-\frac{317\pi}{900}}\\
\ \\
{\color{purple}\text{il punto di partenza ha ascissa negativa e ordinata positiva: siamo nel}}\\
{\color{purple}\text{secondo quadrante, quindi dobbiamo usare gli archi associati: iniziamo a }}\\
\ \\
{\color{purple}\text{trasformare }-\frac{317\pi}{900}\text{ in un arco del quarto quadrante positivo}}\\
\ \\
{\color{purple}-\frac{317\pi}{900}\Rightarrow\frac{317\pi}{900}+\frac{3\pi}2\pi=\frac{1667\pi}{900}}\\
\ \\
{\color{purple}\text{usando ancora gli archi associati:}\frac{1667\pi}{900}-\pi=\frac{767\pi}{900}}\\
\ \\
{\color{purple}\text{In conclusione}\Rightarrow\rho=\sqrt{5},\ \theta=\frac{767\pi}{900}}Passiamo al calcolo del prodotto scalare attraverso le coordinate polari e che utilizzi può avere.
Ricordiamo come si calcola per le coordinate cartesiane:
\vec a=(x_a,y_a),\ \ \vec b=(x_b,y_b)\Rightarrow \langle\vec a , \vec b\rangle=x_ax_b+y_ay_b
Se lo riscrivo con le coordinate polari corrispondenti:
\vec a \Rightarrow \rho_a,\ \ \theta_a\\ \vec b\Rightarrow \rho_b,\ \ \theta_b
Dove sappiamo che vale:
x_a=\rho_a\cdot\cos\theta_a,\ \ \ y_a=\rho_a\cdot \sin\theta_a\\ x_b=\rho_a\cdot\cos\theta_b,\ \ \ y_b=\rho_b\cdot \sin\theta_b
Da cui otteniamo:
x_ax_b+y_ay_b=\rho_a\rho_b\cos\theta_a\cos\theta_b+\rho_a\rho_b\sin\theta_a\sin\theta_b=\\ \rho_a\rho_b\cos(\theta_a-\theta_b)
con l’ultima uguaglianza che deriva dalla formula di somma dei coseni.
Quindi abbiamo ricavato la formula del prodotto scalare per le coordinate polari:
\langle\vec a,\vec b\rangle=|\vec a||\vec b|\cdot\cos(\theta_a-\theta_b)\\
\text{Con }\theta_a-\theta_b=\text{ angolo compreso tra i due vettori.}Proviamo a calcolare qualche prodotto scalare tra vettori:
{\color{blue}\vec a \Rightarrow \rho_a=2,\theta_a=\frac{3\pi}{4}}\ \ \ {\color{green}\vec b \Rightarrow \rho_b=1,\ \theta_b=\frac\pi6 }\\
\ \\
\langle \vec a,\vec b\rangle=2\cdot 1\cos\Big(\frac{3\pi}{4}-\frac{\pi}{6} \Big)\Rightarrow 2\cos\Big( \frac{9\pi-2\pi}{12}\Big)\\
\ \\
2\cos\Big(\frac{7\pi}{12}\Big)={\color{red}1\cancel{\color{black}2}}\cdot\frac{-\sqrt6+\sqrt2}{\color{red}2\cancel{\color{black}4}}=\frac{-\sqrt6+\sqrt2}{2}Se li rappresentiamo graficamente, otteniamo:
Vediamo un altro esempio:
{\color{orange}\vec a \Rightarrow \rho_a=1,5,\theta_a=\frac{5\pi}{6}}\ \ \ {\color{red}\vec b \Rightarrow \rho_b=2,5,\ \theta_b=-\frac{\pi }3 }\\
\ \\
\langle \vec a,\vec b\rangle=1,5\cdot 2,5\cos\Big(\frac{5\pi}{6}-\Big(-\frac{\pi}{3}\Big) \Big)\Rightarrow 3,75\cos\Big( \frac{5\pi+2\pi}{6}\Big)\\
\ \\
2\cos\Big(\frac{7\pi}{6}\Big)=3,75\cdot\Big(-\frac{\sqrt3}{2}\Big)=\frac{-3,75\sqrt3}{2}Graficamente:
Infine vediamo come si può utilizzare il prodotto scalare:
Possiamo trovare un vettore in modo tale che abbia una norma determinata e che formi un angolo dato rispetto ad un altro vettore.
Per far questo dobbiamo impostare un sistema dato che ogni vettore ha due incognite: in questo caso usiamo la sua rappresentazione cartesiana, quindi vogliamo ricavare l’ascissa e l’ordinata
\vec v=(x, y)
La prima equazione sarà data dall’imposizione della norma:
|\vec v|=x^2+y^2= \rho
mentre la seconda equazione impone l’angolo che vogliamo:
\text{ iniziamo calcolando il valore di 
(angolo compreso tra }\vec v\text{ ed il vettore dato }\\
\vec u\text{ )e poi utilizziamo la formula inversa del prodotto scalare }\\
\ \\
\langle\vec v,\vec u\rangle|\vec v ||\vec u|\cos\theta\Rightarrow \cos\theta=\frac{\langle\vec v,\vec u\rangle}{|\vec v ||\vec u|}Osserviamo che questo tipo di esercizi in realtà ci restituirà due vettori: quello che forma col vettore iniziale l’angolo θ in senso orario e quello che lo forma in senso antiorario.
Proviamo coi numeri:
\text{vogliamo un vettore }\vec v=(x,y) \text{ di norma 2 e che formi con }\vec u=(-3,4)\\
\ \\
\text{l'angolo }\frac{\pi}{3}\text{Calcoliamo il prodotto scalare:}\langle\vec v,\vec u\rangle=x\cdot(-3)+y\cdot 4=-3x+4y\\
\
\ \\\text{ e la norma}|\vec u|=\sqrt{(-3)^2+(4)^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5Impostiamo il sistema:
\begin{cases}
x^2+y^2=2^2\\
\cos\frac{\pi}3=\frac{-3x+4y}{2\cdot5}
\end{cases}\\
\ \\
\begin{cases}
x^2+y^2=4\\
\frac1{\color{blue}1\cancel{\color{black}2}} =\frac{-3x+4y}{{\color{blue}1\cancel{\color{black}2}}\cdot5}
\end{cases}\\
\ \\
\begin{cases}
x^2+y^2=4\\
5 =-3x+4y
\end{cases}\\
\ \\
\begin{cases}
x^2+y^2=4\\
x = \frac{4y-5}{3}
\end{cases}\\
\ \\
\\
\ \\
\begin{cases}
\frac{16y^2+25-40y}{9}+y^2=4\\
x = \frac{4y-5}{3}
\end{cases}\\
\ \\
\begin{cases}
16y^2+25-40y+9y^2-36=0\\
x =\frac{4y-5}{3}
\end{cases}
Se consideriamo la prima equazione:
25y^2-40y-11=0
Possiamo calcolarne il delta:
\frac\Delta4=4(20)^2-25\cdot(-11)=675\\
\ \\
y_{1,2}=\frac{20\pm\sqrt{675}}{25}=\frac{20\pm15\sqrt3}{25}=\frac{{\color{blue}1\cancel{\color{black}5}}(4\pm3\sqrt3)}{{\color{blue}5\cancel{\color{black}25}}}=\frac{4\pm3\sqrt3}{5}Ora possiamo sostituire i valori ottenuti delle y nel sistema per avere anche il valore delle x
\begin{cases}
y_1=\frac{4-3\sqrt3}{5}\\
x_1 = \frac{4y-5}{3}
\end{cases}\\
\ \\
\begin{cases}
y_1=\frac{4-3\sqrt3}{5}\\
x_1= \frac{4\frac{4-3\sqrt3}{5}-5}{3}
\end{cases}\\
\ \\
\begin{cases}
y_1=\frac{4-3\sqrt3}{5}\\
x_1 = \frac{\frac{16-12\sqrt3-25}{5}}{3}
\end{cases}\\
\ \\
\begin{cases}
y_1=\frac{4-3\sqrt3}{5}\\
x_1 = \frac{-9-12\sqrt3}{15}
\end{cases}\\
\ \\
\begin{cases}
y_1=\frac{4-3\sqrt3}{5}\\
x_1= \frac{{\color{blue}1\cancel{\color{black}3}}(-3-4\sqrt3)}{{\color{blue}5\cancel{\color{black}15}}}
\end{cases}\\
\ \\
il primo vettore è quindi
\vec v_1=\Big(\frac{-3-4\sqrt3}{5}, \frac{4-3\sqrt3}{5}\Big)Passiamo alla sostituzione del secondo valore di y trovato.
\begin{cases}
y_2=\frac{4+3\sqrt3}{5}\\
x_2 = \frac{4y-5}{3}
\end{cases} \\
\ \\
\begin{cases}
y_2=\frac{4+3\sqrt3}{5}\\
x_2= \frac{4\frac{4+3\sqrt3}{5}-5}{3}
\end{cases}\\
\ \\
\begin{cases}
y_2=\frac{4+3\sqrt3}{5}\\
x_2 = \frac{\frac{16+12\sqrt3-25}{5}}{3}
\end{cases} \\
\ \\
\begin{cases}
y_2=\frac{4+3\sqrt3}{5}\\
x_2 = \frac{-9+12\sqrt3}{15}
\end{cases}\\
\ \\
\begin{cases}
y_2=\frac{4-3\sqrt3}{5}\\
x_2= \frac{{\color{blue}1\cancel{\color{black}3}}(-3+4\sqrt3)}{{\color{blue}5\cancel{\color{black}15}}}
\end{cases}
il secondo vettore è quindi:
\vec v_2=\Big(\frac{-3+4\sqrt3}{5}, \frac{4+3\sqrt3}{5}\Big)Infine vediamo un’ultima tipologia di esercizi: come ricavare l’angolo tra due vettori
\vec a =(x_a,y_a)\\ \vec b=(x_b,y_b)
Anche in questo caso possiamo utilizzare il prodotto scalare: sappiamo che
|\vec a||\vec b|\cos\theta=\langle \vec a,\vec b\rangle\Rightarrow\theta=\arccos\frac{\langle \vec a,\vec b\rangle}{|\vec a||\vec b|}Vediamo un esempio di ciò:
\text{Consideriamo i vettori }\vec a =(2,1) \ e \ \vec b=(1,3)\text{. Qual'è l'angolo che si forma tra di loro?}Iniziamo calcolando:
\langle \vec a,\vec b\rangle=2\cdot1+1\cdot3=5\\
\ \\
|\vec a |= \sqrt{2^2+1^2}=\sqrt5,\ \ \ \ |\vec b|=\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}Quindi, applicando la formula che abbiamo visto prima:
\cos\theta=\frac{5}{\sqrt5\sqrt{10}}=\frac{5}{\sqrt50}=\frac{{\color{blue}1\cancel{\color{black}5}}}{{\color{blue}1\cancel{\color{black}5}}\sqrt2}=\frac{\sqrt2}{2}\\
\ \\
\text{Da cui}\\
\ \\
\arccos\Big(\frac{\sqrt2}{2}\Big)=\frac\pi4
