Cosa sono le frazioni e le loro proprietà
Iniziamo dando la definizione di cosa sia una frazione:
Una frazione è una coppia ordinata di numeri interi, dove il secondo deve essere diverso da 0. Il primo numero è detto numeratore, il secondo è detto denominatore e sono separati da una linea, detta linea di frazione. Vediamo come si rappresenta:
\frac a b
Ma una frazione cosa rappresenta? Rappresenta il quoziente tra due numeri. Ad esempio la frazione
\frac58 \text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ significa \ \ \ \ \ \ }5:8Questa interpretazione ci aiuta anche a capire il motivo per cui il denominatore deve essere diverso da 0: non possiamo dividere per 0!
Vediamo un modo per classificare le frazioni in base al rapporto che hanno numeratore e denominatore:
{\color{blue}1)}\text{Una frazione si dice propria se }a < b\text{, cioè se il numeratore è minore del denominatore}\\
{\color{blue}2)}\text{Una frazione si dice apparente se } a \text{ è multiplo di }b\\
{\color{blue}3)}\text{Una frazione si dice impropria se } a > b \text{ e a non è multiplo di b}Ad esempio:
{\color{blue}1)}\text{Le seguenti sono frazioni proprie:}\\
\ \\
\frac 37 ,\ \ \ \frac15,\ \ \frac {17}{23},\ \ \ \frac78,\ \ \ \frac{31}{75}\\
\ \\
{\color{blue}2)}\text{Le seguenti frazioni sono apparenti:}\\
\ \\
\frac{10}5,\ \ \ \frac84,\ \ \ \frac{12}3,\ \ \ \ \frac{20}5,\ \ \ \frac{70}{10}\\
\ \\
{\color{blue}3)}\text{Le seguenti frazioni sono improprie:}\\
\ \\
\frac75,\ \ \ \frac96,\ \ \ \frac{13}7,\ \ \ \frac{14}{11},\ \ \ \frac{31}{22}Due frazioni si dicono equivalenti se e solo se il prodotto del numeratore della prima e del denominatore della seconda è uguale al prodotto del denominatore della prima e del numeratore della seconda. Vediamo alcuni esempi:
{\color{blue}1)}\text{Consideriamo le due frazioni:}\\
\ \\
\frac53 \text{ e }\frac67\\
\ \\
\text{vediamo se sono equivalenti: }5\cdot7={\color{red}35}, \ 3\cdot6={\color{red}18}\\
\text{quindi le due frazioni NON SONO equivalenti}\\
{\color{blue}2)}\text{Consideriamo le due frazioni:}\\
\ \\
\frac87\text{ e }\frac{16}{14}\\
\ \\
\text{vediamo se sono equivalenti:} 8\cdot14={\color{green}112}, 7\cdot16={\color{green}112}\\
\text{quindi le due frazioni SONO equivalenti}\\
{\color{blue}3)}\text{Consideriamo le due frazioni:}\\
\ \\
\frac{28}{12}\text{ e }\frac{35}{15}\\
\ \\
\text{vediamo se sono equivalenti:}28\cdot15={\color{green}420}, 12\cdot35={\color{green}420}\\
\text{quindi le due frazioni SONO equivalenti}Proprietà invariantiva:
La proprietà invariantiva per le frazioni ci dice che: “se moltiplico per lo stesso numero intero, diverso da 0, sia il numeratore che il denominatore di una stessa frazione, otteniamo una frazione equivalente. Inoltre, possiamo fare lo stesso con la divisione, ma solo se stiamo dividendo numeratore e denominatore per un numero diverso da 0 e che sia un divisore per entrambi.” Il passaggio in cui divido numeratore e denominatore per uno stesso numero è detto semplificazione perchè ci porta ad avere una frazione con valori più piccoli
Vediamo alcuni esempi:
{\color{blue}1)}\frac23\Rightarrow\frac{2\cdot{\color{skyblue}5}}{3\cdot{\color{skyblue}5}}=\frac{10}{15}\\
\ \\
\text{Quindi le frazioni }\frac23\text{ e }\frac{10}{15}\text{ sono equivalenti}\\
\ \\
{\color{blue}2)}\frac74\Rightarrow\frac{7\cdot{\color{skyblue}4}}{4\cdot{\color{skyblue}4}}=\frac{28}{16}\\
\ \\
\text{Quindi le frazioni }\frac74\text{ e }\frac{28}{16}\text{ sono equivalenti}\\
\ \\
{\color{blue}3)}\frac{25}{20}\Rightarrow\frac{25:{\color{skyblue}5}}{20:{\color{skyblue}5}}=\frac54\\
\ \\
\text{Quindi le frazioni }\frac{25}{20}\text{ e }\frac54\text{ sono equivalenti}\\
\ \\
{\color{blue}4)}\frac{39}{91}\Rightarrow\frac{39:{\color{skyblue}13}}{91:{\color{skyblue}13}}=\frac37\\
\ \\
\text{Quindi le frazioni }\frac{39}{91}\text{ e }\frac37\text{ sono equivalenti}\\Grazie alla proprietà invariantiva, possiamo definire un nuovo concetto: le frazioni ridotte ai minimi termini. Una frazione è detta ridotta ai minimi termini o irriducibile, se numeratore e denominatore sono primi fra loro. Possiamo vederlo calcolando il Masimo Comune Divisore tra numeratore e denominatore: se il risultato è 1, allora la frazione è ridotta ai minimi termini. Altrimenti, possiamo dividere numeratore e denominatore per il MCD ed ottenere una frazione equivalente, stavolta ridotta ai minimi termini! In generale, cercheremo di ridurre sempre le frazioni ai minimi termini.
Vediamo alcuni esempi:
{\color{blue}1)}\frac{24}{8}\Rightarrow24=2^3\cdot3,\ 8=2^3,\ \text{MCD}(24,8)=2^3\\
\ \\
\frac{24:8}{8:8}=\frac31=3\\
\ \\
{\color{blue}2)}\frac{20}{14}\Rightarrow20=2^2\cdot5,\ 14=2\cdot7,\ \text{MCD}(20,14)=2\\
\ \\
\frac{20:2}{14:2}=\frac{10}{7}\\
\ \\
{\color{blue}3)}\frac{39}{35}\Rightarrow39=3\cdot13,\ 35=3\cdot5,\ \text{MCD}(39,35)=1\\
\ \\
\text{La frazione è già ridotta ai minimi termini}