Categoria: Definizioni e proprietà preliminari

V \text{ un } \mathbb K\text{ spazio vettoriale e sia } A\sube V\\
\text{Definiamo}\\
\mathscr{L}(A)=\{\vec v\in V|\exist \ \vec v_1,..,\vec v_n\in A, \lambda_1,...\lambda_n\in\mathbb K\ tc\ \vec v=\lambda_1\vec v_1+...+\lambda_n\vec v_n\}

W\sube V \text{si dice sottospazio vettoriale dello spazio vettoriale }V \text{ se:}\\
1)0\vec v\in W\\
2)\forall \ \vec v_1,\vec v_2 \in W,\forall \lambda,\mu \in \mathbb K\text{ si ha }\lambda\vec v_1+\mu\vec v_2\in W

\mathscr{L}(A) \text{ è il più piccolo sottospazio di }V \text{ contenente }A

{\color{blue}\text{Se }W\sube V\text{ è sottospazio e }A\sube W \text{, allora presi }\vec v_1,...,\vec v_n\in A ,\ \lambda_1,...,\lambda_n\in\mathbb K}\\
{\color{blue}\text{abbiamo }\lambda_1\vec v_1+...+\lambda_n\vec v_n\in W \text{ per la definizone di sottospazio vettoriale}}\\
{\color{blue}\text{che abbiamo dato in precedenza.}}\\
{\color{blue}\text{Questo dimostra che }\mathscr{L}(A) \sube W. \checkmark}\\
{\color{blue}\mathscr{L}(A) \text{ è esso stesso un sottospazio vettoriale, infatti se}}\\
{\color{blue}\vec v=\lambda_1\vec v_1+...+\lambda_n\vec v_n\in \mathscr{L}(A) \text{ e }}\\
{\color{blue}\vec w=\lambda'_1\vec v'_1+...+\lambda'_n\vec v_m\in \mathscr{L}(A) \text{ allora abbiamo:}}\\
{\color{blue}\alpha\vec v+\beta \vec w=(\alpha\lambda_1)\vec v_1+...+(\alpha\lambda_n)\vec v_n+(\beta\lambda'_1)\vec v_1+..+(\beta\lambda'_m)\vec v_m}\\
{\color{blue}0\vec v=0'\vec v\ \ \forall\in A\Rightarrow0\vec v\in \mathscr{L}(A)\checkmark\ \ \ \ \square}

\text{Se }A\sube \mathscr{L}(B)\ \text{ allora }\mathscr{L}(A) \sube\mathscr{L}(B)  

{\color{blue}\text{Se abbiamo }A\sube \mathscr{L}(B),\text{ allora }\mathscr{L}(B) \text{ è un sottospazio}}\\
{\color{blue}\text{che contiene }A,\text{ quindi }\mathscr{L}(A) \sube\mathscr{L}(B)  }\\
{\color{blue}\text{dalla proposizione precedente}\ \ \ \ \square}
{\color{blue}}

\text{Sia }V\text{ un }\mathbb K-\text{spazio vettoriale. Siano }\vec v_1,...,\vec v_n \text{ vettori indipendenti di }V\\
\text{ e }\vec w_1,...,\vec w_m \text{ un insieme di generatori di }V.\text{ Allora  }n\leq m

{\color{blue}\text{Sia }\vec v_1\text{ il più piccolo dei }\vec v_1,..,\vec v_n \ tc\ \vec v_1\ne0}\\
{\color{blue}\text{(sappiamo che esiste perchè stiamo considerando un sistema di vettori indipendenti)}}\\
{\color{blue}\text{Procediamo nella dimostrazione attraverso diversi passi:}}\\
\ \\
{\color{blue}\exist \lambda_1,...,\lambda_m\ tc\ \vec v_1=\lambda_1\vec w_1+...+\lambda_m\vec w_m\text{ dato che }V= \mathscr{L}(\vec w_1,...,\vec w_m)}\\
{\color{blue}\text{Supponiamo }\lambda_1\ne0 \ (\text{qualche  }\lambda \text{ deve essere }\ne0,\text{ altrimenti avrei }\vec v_1=0)}\\
{\color{blue}\vec w_1=\lambda^{-1}_1\vec v_1-\lambda^{-1}_1\lambda_2\vec w_2-...-\lambda^{-1}_1\lambda_m\vec w_m.}\\
{\color{blue}\text{Quindi }\vec w_1\in \mathscr{L}(\vec v_1,...,\vec w_m).}\\
{\color{blue}\text{Allora }\mathscr{L}(\vec w_1,...,\vec w_m)\sube\mathscr{L}(\vec v_1,...,\vec w_m)\sube V.}\\
{\color{blue}\text{Da questo abbiamo }V=\mathscr{L}(\vec v_1,...,\vec w_m)\ \ \ \ \checkmark}\\
\ \\
{\color{blue}\text{Sostituiamo di aver sostituito }\vec w_1,...,\vec w_i \text{ con  }\vec v_1,...,\vec v_i,\text{  con }i\geq1 \text{cioè supponiamo che }}\\
{\color{blue}\mathscr{L}(\vec v_1,...,\vec v_i,\vec w_{i+1},..,\vec w_m)= V\ \ \ \checkmark}\\
\ \\
{\color{blue}\text{Dimostriamo come si possano rinumerare i }\vec w \text{ rimanenti in modo } tc}\\
{\color{blue}\mathscr{L}(\vec v_1,...,\vec v_i,\vec v_{i+1}\vec w_{i+2},..,\vec w_m)= V:}\\
{\color{blue}\text{Consideriamo }\vec v_{i+1}=\lambda_1\vec v_1+...+\lambda_i\vec v_i+\lambda_{i+1}\vec w_{i+1}+...+\lambda_m\vec w_m.}\\
{\color{blue}\text{Almeno uno dei coefficienti }\lambda_{i+1},...\lambda_m \text{ è non nullo, dato che }\vec v_1,...,\vec v_n }\\
{\color{blue}\text{sono linearmente indipendenti.}}\\
{\color{blue}\text{Come prima supponiamo }\lambda_{i+1}\ne0.\text{ Allora }}\\
{\color{blue}\vec w_{i+1}=\lambda^{-1}_{i+1}\vec v_{i+1}-\lambda^{-1}_{i+1}\lambda_1\vec v_1-...-\lambda^{-1}_{i+1}\lambda_{i}\vec v_i-\lambda^{-1}_{i+1}\lambda_{i+2}\vec w_{i+2}-...-\lambda^{-1}_{i+1}\lambda_{m}\vec w_{m}}\\
{\color{blue}\text{Allora }\vec w_{i+1}\in\mathscr{L}(\vec v_1,...,\vec v_i,\vec v_{i+1}\vec w_{i+2},..,\vec w_m)}\\
{\color{blue}\Rightarrow\mathscr{L}(\vec v_1,...,\vec v_i,\vec v_{i+1}\vec w_{i+2},..,\vec w_m)=V\ \ \ \ \checkmark}\\
\ \\
{\color{blue}\text{Il procedimento continua finché non rimangono più vettori da sostituire.}}\\
{\color{blue}\mathscr{L}(\vec v_1,...,\vec v_i,\vec v_{n}\vec w_{n+1},..,\vec w_m)\Rightarrow n\leq m}\\
{\color{blue}\text{Infatti, supponendo per assurdo che }n > m \text{, ad un certo punto avremmo }}\\
{\color{blue}\text{come insieme di generatori } \mathscr{L}(\vec v_1,...,\vec v_m)\text{ e sarebbe possibile esprimere}}\\
{\color{blue}\vec v_j \text{ con }m+1\leq j \leq n \text{ come }\lambda_1\vec v_1+...+\lambda_m\vec v_m }\\
{\color{blue}\text{Assurdo, perchè }\vec v_1,...,\vec v_n \text{sono linearmente indipendenti }\checkmark \ \ \ \square}

\text{Supponiamo che }V\text{ sia finitamente generato }V=\mathscr{L}(\vec w_1,...,\vec w_m).\\
\text{Allora esistono basi finite di }V \text{ e queste hanno sempre lo stesso numero di elementi}.

{\color{blue}\text{Sappiamo che esistano basi finite perché se } \vec w_1,...,\vec w_m \text{ sono generatori di }V. }\\
{\color{blue}\text{Da questo insieme possiamo estrarre una base grazie al teorema di esistenza delle basi}.}\\
{\color{blue}\text{Supponiamo che }\mathbb B(\vec v_1,...,\vec v_n ) \text{ e }\mathbb B'(\vec v'_1,...,\vec v'_n )\text{ siano due basi di }V, \text{ allora queste sono}}\\
{\color{blue}\text {sia un insieme di vettori indipendenti, sia un insieme di generatori. }}\\
{\color{blue}\text{Allora, dal lemma di Steinitz, abbiamo }n\leq m, \ m\leq n\Rightarrow n=m\ \ \ \square}

\text{Siano }\vec v_1,...,\vec v_n \text{ un insieme di vettori indipendenti di }V  \text{e }\vec w_1,..,\vec w_m\\
\text{insieme di generatori di }V.\\
\text{Allora possiamo completare  }\vec v_1,...,\vec v_n\text{ a base di }V \text{ prendendo i vettori aggiuntivi di}\\
\vec w_1,..\vec w_n  

{\color{blue}\text{Possiamo utilizzare lo stesso procedimento a scarti successivi che abbiamo utilizzato}}\\
{\color{blue}\text{nella dimostrazione del lemma di Steiniz, possiamo supporre } \vec v_1,...,\vec v_n,\vec w_1,...,\vec w_m }\\
{\color{blue}\text{un insieme di generatori.}}\\
{\color{blue}\text{Ora ci basta scegliere un insieme tra questi un insieme massimale di vettori indipendenti}}\\
{\color{blue}\text{che contenga anche }\vec v_1,..,\vec v_n \text{ ed avremo la base di }V \text{ cercata}\ \ \ \ \square}

\text{Sia } \dim V=n \text{ e sia}\mathbb B=(\vec v_1,...,\vec v_n)\text{ insieme di vettori linearmente indipendenti.}\\
\text{Allora }\mathbb B \text{ è una base}.

{\color{blue}\text{Consideriamo una base di }V \ \vec w_1,...,\vec w_n.}\\
{\color{blue}\text{col procedimento di scambio visto nelle dimostrazioni precedenti, otteniamo che anche} }\\
{\color{blue}\vec v_1,...,\vec v_n \text{ è una base di }V\ \ \ \ \ \ \square}

\text{Sia }\mathbb B=(\vec v_1,..,\vec v_n )\text{ un insieme di generatori e sia }\dim V=n\\
\text{Allora }\mathbb B\text{ è una base di }V.

{\color{blue}\text{Dato che }\mathbb B =(\vec v_1,...,\vec v_n) \text{ è un insieme di generatori, supponiamo}}\\
{\color{blue}\text{di estrarne una base }\vec v'_1,...,\vec v'_{n'}, \ tc \ n'\leq n.}\\
{\color{blue}\text{Ma per ipotesi sappiamo che }\dim V=n \text{ e, per come abbiamo definito la dimensione}}\\
{\color{blue}\text{di un sottospazio vettoriale, questo signfica che }}\\
{\color{blue}n=\#\text{elementi di una qualunque base di }V.}\\
{\color{blue}\text {Quindi }n=n' \text{ e non posso tralasciare alcun elemento di }\mathbb B}\\
{\color{blue}\Rightarrow \mathbb B \text{ è una base\ \ \ \ \ }\square}

\text{Sia }W \text{ sottospazio di }V. \\
\text{Allora vale }\dim W\leq\dim V .\\
\text{Se inoltre supponiamo }\dim W=\dim V, \text{ allora }W=V

 {\color{blue}\text{Supponiamo di avere }\dim W =n' \text{ e }\vec v_1,...\vec v_{n'} \text{ base di }W .}\\
{\color{blue}\text{Allora }\vec v_1,...,\vec v_{n'}\text{ è un insieme di vettori linearmente indipendenti per }V}\\
{\color{blue}\text{ quindi possiamo completare tale insieme a base di }V \Rightarrow n'\leq n\ \checkmark}\\
\ \\
{\color{blue}\text{Se avessimo }n'=n\text{ questo significherebbe che }\vec v_1,..,\vec v_{n'} \text{sarebbe già base di }V}\\
{\color{blue}\text{cioè }W=\mathscr{L}(\vec v_1,...,\vec v_{n'})=V\ \ \ \checkmark \ \ \ \square}

\text{ Sia }\mathbb K \text{ un campo e sia }V\text{un insieme con 0 un elemento fissato. Una struttura di}\\
\text{ campo vettoriale }V\text{ su }\mathbb K\text{ con elemento 0 dato da }0v \text{ è una coppia di operazioni}\\
\text{una interna ed una esterna}\\
+:V\times V\rightarrow V \ tc\ (V,0v,+)\ \ \text{sia un gruppo abeliano}\\
\cdot: \mathbb K\times V\rightarrow V\ \ \ \text{dove } (\lambda,\vec v) \mapsto\lambda\vec v\ \ \ \ (\text {operazione esterna})

\text{Su  }\R\text{ visto come insieme agisce }(\R^n,0,+)\text{ come gruppo, i cui elementi si possono}\\
\text{indicare con }\vec v=(a_1,...,a_n) \\
\text{Operazione interna:}\\
+:\R^n\times \R^n\rightarrow\R^n\ \ \ \  (\vec a,\vec b)\mapsto\vec a +\vec b=(a_1+b_1,...,a_n+b_n)\\
\cdot: \R\times \R^n\rightarrow\R^n\ \ \ \ (\lambda,\vec v)\mapsto\lambda\vec v=(\lambda v_1,...,\lambda v_n)\\
\ \\
\text{Proprietà delle operazioni}:\\
\text{consideriamo }1\in\R, \ \vec v, \ \vec w\in \R^n,\lambda,\mu\in \R.\text{ Allora}\\
{\color{blue}1)}1\cdot\vec v=\vec v\\
{\color{blue}2)}\lambda(\mu\vec v)=(\lambda\mu)\vec v\\
{\color{blue}3)}(\lambda+\mu)\vec v=\lambda\vec v+\mu\vec w\\
{\color{blue}4)}\lambda(\vec v+\vec w)=\lambda\vec v+\lambda\vec w\\
\ \\

\text{Dati gli scalari }\lambda_1,...,\lambda_n \in \mathbb K \text{ ed i vettori }\vec v_1,..,\vec v_n \in V \\
\text{si definisce cominazione lineare  di }\vec v_1,...,\vec v_n \text{ con coefficienti }\lambda_1,...,\lambda_n\text{ l'espressione}\\
\lambda_1\vec v_1+...+\lambda_n\vec v_n 

\text{Una n-pla di vettori }\vec v_1,...,\vec v_n \text{ con }\vec v_i \in V\text{ si dice  linearmente dipendente se}\\
\exist \lambda_1...\lambda_n\in \mathbb K \ tc\\
(\lambda_1,...,\lambda_n)\ne (0,..,0) \ \ \ \ \text{ e }\ \ \  \lambda_1\vec v_1+...+\lambda_n\vec v_n=0

\text{Una n-pla di vettori } \vec v_1,...,\vec v_n  \text{ si dice base di }V \text{se}\\
\forall \vec v \in V \exist! \lambda_1,...,\lambda_n \in \mathbb K \ tc\ \vec v=\lambda_1\vec v_1+...+\lambda_n \vec v_n

{\color{blue}1)}V=\{0\vec v\}\text{ non ha basi. Questo perché}\\
0\vec v=\lambda 0\vec v \ \forall\lambda\ \text{ cioè non è unico!}\\
\ \\
{\color{blue}2)}\text{Consideriamo }V=\mathbb K^1=\mathbb K\\
\text{Sia }v \in V,  v\ne0. \text{ Allora }\mathbb B=( v) \text{ è base di }V\\
\text{Infatti }\forall   w\in V \text{abbiamo }  w=\lambda v \text{ con }\lambda= v^{-1}  w \\
\text{Dove sappiamo che esiste } v^{-1} ,\text{ dato che }  v\ne0\\
\ \\
{\color{blue}3)}\text{Consideriamo }V=\Z/2=\{[0],[1]\} \\
 \text{in questo caso abbiamo un'unica base dato che }[1] \text{ è l'unico elemento }v\ne0\\
\ \\
{\color{blue}4)}\text{Consideriamo }V=\mathbb K ^2=\{(x,y)|x,y \in \mathbb K\}\\
\text {abbiamo infinite basi, ma quella che utilizzeremo più spesso è la base canonica}\\
 \mathcal{E}=(e_1,e_2), \text{dove }e_1=(1,0), \ e_2=(0,1).\\
\text{In generale per ottenere una base ci basta considerare due vettori}\\
\text{ linearmente indipendenti}\\
\ \\

\text{Come ultimo esempio consideriamo:}\\
\mathbb K \text{ un campo, }\mathbb K[x]=\text{polinomio di variabile  } x \text{ con coefficienti in }\mathbb K \\
\{a_0+a_1x+...+a_nx^n|n\in \N,a_i\in \mathbb K\}\\
\text{Vediamo come questo campo, insieme all'operazione interna data dalla somma tra }\\
\text{ i polinomi e all'operazione esterna data dalla moltiplicazione di un polinomio}\\
\text{per un elemento }c\in \mathbb K\\
\text{Consideriamo}\\
p(x)=a_0+a_1x+...+a_nx^n\\
q(x)=b_0+b_1x+...+b_nx^n\\
c\in \mathbb K\\
(p+q)(x)=(a_0+b_0)+(a_1+b_1)x+...\ \ \ \ \in \mathbb K[x] \ \checkmark\\
c\cdot p(x)=c\cdot a_0+c\cdot a_1x+.....\in \mathbb K[x]\ \ \checkmark\\
\text{Quuindi }\mathbb K[x] \text{ è uno spazio vettoriale}

\mathbb K[x] \text{ non ha base finita}

{\color{blue}\text{Si fa per assurdo:  sia }\mathbb B=(p_1(x),...,p_n(x))\text{ un'ipotetica base finita di }\mathbb K[x]}\\
{\color{blue}\text{Sia }\deg p(x)=\max\{i|p(x)=a_0+a_1x+...+a_nx^n, a_i\ne0\}}\\
{\color{blue}\text{e sia }M =\max\{\deg \ p_1,...,\deg \ p_n\}\text{ che quindi sarà il grado massimo della }}\\
{\color{blue}\text{combinazione lineare della base.}}\\
{\color{blue}\text{Questo significa che possiamo scrivere }}\\
{\color{blue}p_1(x)=a_{1,0}+a_{1,1}x^1+...+a_{1,M}x^M}\\
{\color{blue}p_2(x)=a_{2,0}+a_{2,1}x^1+...+a_{2,M}x^M}\\
{\color{blue}\colon}\\
{\color{blue}p_n(x)=a_{n,0}+a_{n,1}x^1+...+a_{n,M}x^M}\\
{\color{blue}\text{dove qualunque }a_{i,j} \text {potrebbe essere =0}}\\
{\color{blue}\text{Allora, per come abbiamo definito la base, ogni }p(x) \text{deve essere combinazione}}\\
{\color{blue}\text{lineare  di }p_1(x),...,p_n(x), \text{ cioè }} 
{\color{blue}p(x)=\lambda_1p_1(x)+\lambda_2p_2(x)...+\lambda_np_n(x)=}\\
{\color{blue}=(\lambda_1a_{1,0}+...+\lambda_na_{n,0})+(\lambda_1a_{1,1}+...+\lambda_2a_{n,1})x+...+(\lambda_n a_{1,M}+...+\lambda_na_{n,M})x^M}\\
{\color{blue}\text{Da questo si vede che }\deg p(x)\leq M}\\
{\color{blue}\text{Ma allora, se prendiamo un polinomio di grado  }>M, \text{ questo non  potrà}}\\
{\color{blue}\text{essere generato dai } p_1,...p_n.}\\
 {\color{blue}\text{ Assurdo per come abbiamo definito una base}\ \ \ \ \ \square}

\text{Un esempio di base infinita per i polinomi potrebbe essere :}\\
\mathbb B=\{1,x,x^2,...,x^n,...\}

\text{Una famiglia indicizzata }\mathbb B=\{\vec v_i|i\in I\} \text{ di  vettori di } V \text{si dice una base}\\
\text{ per } V \text{ se }\forall x\ne0,\vec v\in V,\exist!n\in \N \ i_1,...i_n \in I, \lambda_1,...,\lambda_n\in \mathbb K \ tc\\
\vec v=\lambda_1v_{i_1}+...\lambda _n\vec v_{i_n}\\
\text{In pratica stiamo chiedendo che qualunque vettore } \vec v \text{ possa essere scritto in modo}\\
\text{unico come combinazione lineare di un numero finito di elementi della base }\mathbb B

\text{Una famiglia indicizzata }\mathbb B=\{\vec v_i|i\in I\} \text{ di  vettori di } V \text{si dice un  }\\
\text{ insieme di genaroti per } V \text{ se }\forall \vec v\  \in V\  \exist \lambda_1,...\lambda_n \in \mathbb K \ tc\\
\vec v=\lambda_1\vec v_{i_1}+...+\lambda_n\vec v_{i_n}\\
\text{La differenza tra basi e generatori è sull'unicità nella scrittura:}\\
\text{nel caso delle basi i }\lambda_i \text{ sono unici, mentre nel caso dei generatori}\\
\text{non lo sono.}

\text{Sia }V \text{ un }\mathbb K \text{-spazio vettoriale e sia }A \text{ un insieme di generatori di }V.\\
\text{Allora esiste una base }\mathbb B\sube A.\\
\text{In particolare, se poniamo }V=A \text{ abbiamo l'esistenza di una base per }V

{\color{blue}\text{Consideriamo l'insieme }X=\{\mathbb B\sube A|\mathbb B\text{ è indipendente}\}}\\
{\color{blue}\text{e definiamo l'ordinamento per inclusione }\leq \text{ su }X \text{ come}}\\
{\color{blue}\mathbb B\leq \mathbb B' \Rightarrow \mathbb B \sube\mathbb B'}\\
{\color{blue}\text{Vogliamo applicare all'insieme }X \text{ il lemma di Zorn: }}\\
{\color{blue}\text{verifichiamo che se }C\sube X \text{ è una catena, cioè un sottoinsieme completamente}}\\
{\color{blue}\text{completamente ordinato, allora }C \text{ ammette maggioranti.}}\\
{\color{blue}\text{Dato }C\sube X, \text{consideriamo }\mathbb B_C=\underset{\mathbb B\in C}{\cup}\mathbb B, \text { allora ogni }\mathbb B\in C \text{ è }\mathbb B\sube\mathbb B_C.}\\
{\color{blue}\text {Dimostriamo che }\mathbb B_C\in X \text{, cioè che }\mathbb B_C\text{ è un insieme indipendente: }}\\
{\color{blue}\text{siano  }\vec v  _1,...,\vec v_n\in \mathbb B_C,\text{ allora possiamo dire che }}\\
{\color{blue}\exist\  \mathbb B_1,...,\mathbb B_n \text{ elementi di  }C \ tc \ \vec v_1\in \mathbb B_1,...\vec v_n \in\mathbb B_n}\\
{\color{blue}\text{osserviamo che }\mathbb B_1,...\mathbb B_n \text{ sono tutti confrontabili fra loro poichè }\mathbb B_i \in C }\\
{\color{blue}\text{ e } C,\leq \text{ è una catena.}}\\
{\color{blue}\text{A meno di riordinare gli indici, possiamo supporre che }\mathbb B_1\leq\mathbb B_2\leq...\leq\mathbb B_n.}\\
{\color{blue}\text{Allora  }\vec v_1,...,\vec v_n\in \mathbb B_n. }\\
{\color{blue}\text{Poichè }\mathbb B_n\in C\sube X, \mathbb B_n \text{ è indipendente, quindi }\vec v _1,...,\vec v_n \text{ sono indipendenti.}}\\
{\color{blue}\text{Quindi abbiamo ottenuto che } \vec v_1,...,\vec v_n \text{ distinti, scelti a piacere, in }}\\
{\color{blue}\mathbb B_C \text{ sono indipendenti} \Rightarrow \mathbb B_C \text{ è indipendente per costruzione.}}\\
{\color{blue}\text{Inoltre, ogni catena }C \sube X \text{ ha dei maggioranti}\Rightarrow \text{per il lemma di Zorn}}\\
{\color{blue}\text{ammette massimali. Sia }\mathbb B\in X \text{un insieme di vettori indipendenti }}\\
{\color{blue}\text{tale che sia massimale e contenuto in }A}\\
{\color{blue}\text{Allora }\mathbb B\text{ è base di }V \text {estratta dall'insieme }A\ \ \ \ \ \square}

\text{Se }\mathbb B\text{ è una base di vettori di  }V \text{ e }\mathbb B'  \text{ è un insieme di vettori indipendenti }\\
tc \ \mathbb B\sube \mathbb B'\text{, allora   }\mathbb B =\mathbb B'.

{\color{blue}\text{Dividiamo la dimostrazione in due parti:}}\\
\ \\
{\color{blue}1)\text{Sia }\mathbb B\text { una base di } V, \text{ allora dimostriamo che }\mathbb B \text{ è un insieme}}\\
{\color{blue}\text{ indipendente e massimale tra le famiglie indipendenti}.}\\
\ \\
{\color{blue}\text{Iniziamo mostrando la parte più immediata: l'indipendenza in }\mathbb B. }\\
{\color{blue}\text{Per come abbiamo definito una base abbiamo}} \\
{\color{blue}0\vec v=\lambda_1\vec v_{1_i}+...+\lambda_{n_i} \text{con i }\lambda_i \text{unici}}\\
{\color{blue}\Rightarrow \lambda_1=\lambda_2...=\lambda_n=0\ \forall\vec v_i \in \mathbb B.}\\
{\color{blue}\text{Ma questa è esattamente la condizione per l'indipendenza}\Rightarrow }\\
{\color{blue}\mathbb B \text{ è composto da vettori linearmente indipendenti}\ \ \ \ \checkmark}\\

\ \\
{\color{blue}\text{Consideriamo quindi } \mathbb B\sube\mathbb B', \text{ con }\mathbb B \text{ indipendente}.}\\
{\color{blue}\text{Se fosse }\mathbb B \subsetneqq \mathbb B',\text{allora sia }\vec v \in \mathbb B'\setminus\mathbb B.\text{ Poiché }\mathbb B \text{ è base, allora devono esistere } }\\
{\color{blue}\text{ dei vettori: } \{ \vec v_{1_i},...,\vec v_{n_i}\}\in\mathbb B \text{ e }\lambda_1...\lambda_n\in\mathbb K \ tc }\\
{\color{blue}\vec v=\lambda_1\vec v_{1_i}+...+\lambda_{n_i}\Rightarrow 1\cdot\vec v-\lambda_1\vec v_{1_i}-...-\lambda_{n_i}=0\Rightarrow }\\
{\color{blue}1\cdot\vec v-\lambda_1\vec v_{1_i}-...-\lambda_{n_i}\in\mathbb B'}\\
{\color{blue}\text{ma questo contraddice l'indipendenza di }\mathbb B'. \ \ \ \ \ \checkmark }\\
\ \\
{\color{blue}\text{Abbiamo dimostrato il punto }1)}\\
\ \\
{\color{blue}\text{Ora  scambiamo iporesi e tesi:}}\\
\ \\
{\color{blue}2)\text{Sia }\mathbb B \text{ una famiglia  indipendente e  massimale di }\vec v }\\
{\color{blue}\text{allora }\mathbb B\text{  è una base }}\\
\ \\
{\color{blue}\text{Supponiamo }\vec v=0\vec v, \text{ con }\vec v\in \mathbb B\text{ questo implica che, se}}\\
{\color{blue}\vec v=\lambda_1\vec v_{i_1}+...+\lambda_n\vec v_{i_n}\Rightarrow \lambda_1=...=\lambda_n=0 \text{ per l'indipendenza di }\mathbb B\Rightarrow }\\
{\color{blue}\text{in questo caso abbiamo l'unicità dei }\lambda_i \ \ \ \ \checkmark}\\
{\color{blue}\text{Se, al contrario, }\vec v\ne0\vec v\text{, allora }\vec v\in \mathbb B\text{ oppure }\vec v\text{ combinazione lineare di elementi di }\mathbb B}\\
{\color{blue}\text{Infatti, se valesse }\vec v\notin\mathbb B, \text{ avremmo }\mathbb B'=\mathbb B\cup\{\vec v\}}\\
{\color{blue}\text{Ma questo insieme }\mathbb B' \text{ non può essere indipendente, dato che per ipotesi}}\\
{\color{blue}\mathbb B \text{è insieme massimale fra le famiglie indipendenti}\Rightarrow}
{\color{blue}\exist \lambda\vec v+\lambda_1\vec v_{i_1}+...+\lambda_n \vec v _{i_n}=0}\\
{\color{blue}\text{con la n-pla }(\lambda_1,...,\lambda_n)\ne(0,...,0)}\\
{\color{blue}\text{Se fosse }\lambda=0\Rightarrow (\lambda_1,...,\lambda_n)\ne0\text{ e    varrebbe }\lambda_1\vec v_{i_1}+...+ \lambda_n\vec v _{i_n}=0}\\
{\color{blue}\text{che sarebbe assurdo dato che per ipotesi i vettori di }\mathbb B \text{sono linearmente indipendenti}.}\\
{\color{blue}\text{Dunque deve valere }\lambda\ne0\Rightarrow \vec v=-\lambda^{-1}\lambda_1\vec v_{i_1}-...-\lambda^{-1}\lambda_n\vec v_{i_n}\Rightarrow}\\
{\color{blue} \vec v \text{ è combinazione lineare di elementi di }\mathbb B.}\\
{\color{blue}\text{Questo quindi comporta che }\mathbb B \text{ sia un insieme di generatori per }V.}\\
{\color{blue}\text{Per concludere la parte due della dimostrazione ci basta dimostrare che ogni espressione}}\\
{\color{blue}\vec v=\lambda_1\vec v_{i_1}+...+ \lambda_n\vec v _{i_n}, \text{ con }(\vec v_{i_1},...,\vec v_{i_n}) \in \mathbb B\text{è unica.}}\\
{\color{blue}\text{ Se per assurdo avessimo due espressioni per indicare tale vettore, otterremmo}}\\
{\color{blue}\lambda_1\vec v_{i_1}+...+ \vec v _{i_n}=\mu_1\vec v_{i_1}+...+ \mu_n\vec v _{i_n}}\\
{\color{blue}\text{varrebbe }(\lambda_1-\mu_1)\vec v_{i_1}+...+ (\lambda_n-\mu_n)\vec v _{i_n}=0\vec v}\\
{\color{blue}\text{Ma allora, per l'indipendenza di }\mathbb B \text{ otterremmo}}\\
{\color{blue}(\lambda_1-\mu_1)=...=(\lambda_n-\mu_n)=0\Rightarrow \lambda1=\mu_1,...,\lambda _n=\mu_n\Rightarrow \mathbb B \text{ è una base }\ \ \ \checkmark}\\
\ \\
{\color{blue}\text{Da questo otteniamo la tesi della nostra proposizione, dato che abbiamo dimostrato }} \\
{\color{blue}\text{che una base è un insieme massimale di vettori linearmente indipendenti e che} }\\
{\color{blue}\text{ se anche  }\mathbb B' \text{ lo è, allora deve essere a sua volta una base. }}\\
{\color{blue}\text{Ma se }\mathbb B\sube \mathbb B'\text{ allora l'unica possibilità è proprio che le due basi coincidano }\ \ \square}