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Categoria: Espressioni goniometriche

Espressioni con definizioni di base con valori degli angoli

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Vediamo delle espressioni in cui abbiamo dei valori fissati per gli angoli:

{\color{blue}1)}\sqrt{2}\sin\frac{\pi}{4}-3\cos\frac{\pi}{3}+\sin\frac{\pi}{6}\cos\frac{\pi}{3}+\tan\frac{\pi}{4}=

Ricordiamo i valori notevoli:

{\color{blue}\sin\frac\pi4=\frac{\sqrt2}{2}}\\
\ \\
{\color{green}\cos\frac{\pi}{3}=\frac{1}{2}}\\
\ \\

{\color{red}\sin\frac{\pi}{6}=\frac{1}{2}}\\
\ \\
{\color{orange}\tan\frac{\pi}{4}=1}\\
\ \\
\sqrt{2}{\color{blue}\frac{\sqrt{2}}{2}}-3{\color{green}\frac{1}{2}}+{\color{red}\frac{1}{2}}{\color{green}\frac12}+{\color{orange}1}=\\
\ \\
\frac22-\frac32+\frac14+1=\\
\ \\
\frac{4-6+1+4}{4}=\\
\ \\
\frac{3}{4}
{\color{blue}2)}\sin^2\frac{\pi}{3}-\frac{\sqrt{2}}2\cos\frac\pi4+\tan\frac\pi6-\cos\frac\pi3-\frac14\tan\frac\pi4+\cot\frac{\pi}{3}=

Valori notevoli:

{\color{blue}\sin\frac\pi3=\frac{\sqrt3}2}\\
\ \\
{\color{green}\cos\frac\pi4=\frac{\sqrt2}2}\\
\ \\
{\color{red}\tan\frac\pi6=\frac{\sqrt{3}}{3}}\\
\ \\
{\color{orange}\cos\frac\pi3=\frac12}\\
\ \\
{\color{brown}\tan\frac\pi4=1}\\
\ \\
{\color{pink}\cot\frac\pi3=\frac{\sqrt{3}}{3}}\\
\ \\
\Big({\color{blue}\frac{\sqrt{3}}{2}}\Big)^2-\frac{\sqrt2}{2}{\color{green}\frac{\sqrt{2}}{2}}+{\color{red}\frac{\sqrt{3}}{3}}-{\color{orange}\frac12}-\frac14{\color{brown}1}+{\color{pink}\frac{\sqrt{3}}{3} }

Calcoliamo le moltiplicazioni e l’elevamento a potenza:

\frac94-\frac24+\frac{\sqrt{3}}{3}-\frac12-\frac14+\frac{\sqrt{3}}{3}=

Il denominatore comune è 12:

\frac{3\cdot3-2\cdot3+\sqrt{3}\cdot4-1\cdot6-1\cdot3+\sqrt3\cdot4}{12}=\\
\ \\
\frac{9-6+4\sqrt3-6-3+4\sqrt3}{12}=\\
\ \\
\frac{-6 +8\sqrt3}{12}=\\
\ \\
\frac{{\color{blue}-1\cancel{\color{black}-6}}}{{\color{blue}2\cancel{\color{black}12}}}+\frac{{\color{purple}2\cancel{\color{black}8}}\sqrt3}{{\color{purple}3\cancel{\color{black}12}}}=\\
\ \\
-\frac12+\frac{2\sqrt3}{3}

Vediamo un’espressione in cui usiamo gli archi associati:

{\color{blue}3)}\sqrt{2}\sin\frac{\pi}{4}+\tan\frac{2\pi}{3}-\sqrt{3}\cos\frac{5\pi}{6}-\cot\frac{5\pi}{6}=

Riscriviamo gli angoli che non sono nel primo quadrante in modo da poter usare le proprietà di seno, coseno, tangente e cotangente

{\color{blue}\frac{2\pi}{3}=\pi-\frac\pi3}\\
\ \\
{\color{green}\frac{5\pi}{6}=\pi-\frac\pi6}

Quindi riscriviamo l’espressione come:

\sqrt2\sin\frac\pi4+\tan\Big({\color{blue}\pi-\frac{\pi}{3}}\Big)-\sqrt{3}\cos\Big({\color{green}\pi-\frac\pi6}\Big)-\cot\Big({\color{green}\pi-\frac\pi6}\Big)=

Vediamo gli archi associati anche di tangente e cotangente, che derivano direttamente dalle definizioni:

\tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\\
\ \\
 \cot\alpha= \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}
{\color{blue}\tan\Big(\pi-\frac\pi3\Big)=-\tan\frac\pi3}\\
\ \\
{\color{green}\cos\Big(\pi-\frac\pi6\Big)=-\cos\frac\pi6}\\
\ \\
{\color{red}\cot\Big(\pi-\frac\pi6\Big)=-\cot\frac\pi6}\\
\ \\
\sqrt2\sin\frac\pi4+\Big({\color{blue}-\tan\frac\pi3}\Big)-\sqrt3\Big({\color{green}-\cos\frac\pi6}\Big)-\Big({\color{red}-\cot\frac\pi6}\Big)=\\
\ \\
\sqrt2\sin\frac\pi4-\tan\frac\pi3+\sqrt3\cos\frac\pi6+\cot\frac\pi6=\\

Valori notevoli:

{\color{blue}\sin\frac\pi4=\frac{\sqrt{2}}{2}}\\
\ \\
{\color{green}\tan\frac{\pi}{3}=\sqrt3}\\
\ \\
{\color{red}\cos\frac\pi6=\frac{\sqrt{3}}{2}}\\
\ \\
{\color{orange}\cot\frac{\pi}{6}=\sqrt{3}}\\
\ \\
\sqrt{2}{\color{blue}\frac{\sqrt{2}}{2}}-{\color{green}\sqrt{3}}+\sqrt{3}{\color{red}\frac{\sqrt3}{2}}+{\color{orange}\sqrt3}=\\
\ \\
\frac22{\color{purple}\cancel{\color{black}-\sqrt3}}+\frac{3}{2}{\color{purple}\cancel{\color{black}+\sqrt{3}}}=\\
\ \\
\frac{5}{2}

Vediamo qualche esempio più complesso:

{\color{blue}3)}\frac{\sqrt{2}\sin\Big(-\frac{\pi}{4}\Big)+\Big(2\cos\Big(\pi-\frac{\pi}{3}\Big)-\sin\frac\pi3\Big)^2-\sin\Big(2\pi-\frac\pi6\Big)}{\tan\frac\pi4\cot\Big(\pi+\frac\pi3\Big)}\cos0=\\

Archi associati:

{\color{blue}\sin\Big(-\frac\pi4\Big)=-\sin\frac\pi4}\\
\ \\
{\color{green}\cos\Big(\pi-\frac\pi3\Big)=-\cos\frac\pi3}\\
\ \\
{\color{red}\sin\Big(2\pi-\frac\pi6\Big)=\sin\Big(-\frac\pi6\Big)=-\sin\frac\pi6}\\
\ \\
{\color{orange}\cot\Big(\pi+\frac\pi3\Big)=\cot\frac\pi3}\\
\ \\
\frac{\sqrt{2}\Big({\color{blue}-\sin\frac\pi4}\Big)+\Big(2({\color{green}-\cos\frac\pi3})-\sin\frac\pi3\Big)^2-\Big({\color{red}-\sin\frac\pi6}\Big)}{\tan\frac\pi4{\color{orange}\cot\frac\pi3}}\cos0=\\
\ \\
\frac{-\sqrt2\sin\frac\pi4+\Big(-2\cos\frac\pi3-\sin\frac\pi3\Big)^2+\sin\frac\pi6}{\tan\frac\pi4\cot\frac\pi3}\cos0

Valori noti:

{\color{blue}\sin\frac\pi4=\frac{\sqrt2}{2}}\\
\ \\
{\color{green}\cos\frac\pi3=\frac12}\\
\ \\
{\color{red}\sin\frac\pi3=\frac{\sqrt3}{2}}\\
\ \\
{\color{orange}\sin\frac\pi6=\frac12}\\
\ \\
{\color{brown}\tan\frac\pi4=1}\\
\ \\
{\color{purple}\cot\frac\pi3=\frac{\sqrt{3}}{3}}\\
\ \\
{\color{pink}\cos0=1}\\
\ \\
\frac{-\sqrt2{\color{blue}\frac{\sqrt2}{2}}+\Big(-2{\color{green}\frac12}-{\color{red}\frac{\sqrt3}{2}}\Big)^2+{\color{orange}\frac12}}{1{\color{purple}\frac{\sqrt3}{3}}}{\color{pink}1}=\\
\ \\
\frac{-\frac22+\Big(-1-\frac{\sqrt3}{2}\Big)^2+\frac12}{\frac{\sqrt3}{3}}=\\
\ \\
\frac{-1+1+\frac34+\sqrt{3}+\frac12}{\frac{\sqrt3}{3}}=\\
\ \\
\frac{\frac34+\sqrt3+\frac12}{\frac{\sqrt3}{3}}=

Calcoliamo il denominatore comune del numeratore:

\frac{\frac{3+4\sqrt3+2}{4}}{\frac{\sqrt3}{3}}=\\
\ \\
\frac{\frac{5+4\sqrt3}{4}}{\frac{\sqrt3}{3}}=\\
\ \\
\frac{5+4\sqrt3}{4}\frac{3}{\sqrt3}=\\
\ \\
\frac{15+12\sqrt3}{4\sqrt3}=

Razionalizziamo:

\frac{15+12\sqrt3}{4\sqrt3}\frac{\sqrt3}{\sqrt3}=\\
\ \\
\frac{15\sqrt3+12\cdot3}{4\cdot3}=\\
\ \\
\frac{15\sqrt3+36}{12}=\\
\ \\
\frac{{\color{purple}\cancel{\color{black}{3}}}(5\sqrt3+12)}{{\color{purple}4\cancel{\color{black}12}}}=\\
\ \\
\frac{5\sqrt3+12}{4}

Vediamo un ultimo esempio di espressioni di questo tipo:

{\color{blue}4)}\Big(\sin\frac\pi3-\sin\frac\pi6\Big)\Big(\sin\frac\pi3-\sin\Big(-\frac\pi6\Big)\Big)+\Big(\tan\frac{5\pi}{4}-\cot(\pi+\frac\pi3)\Big)^2=

Archi associati:

{\color{blue}\sin\Big(-\frac\pi6\Big)=-\sin\frac\pi6}\\
\ \\
{\color{green}\tan\Big(\frac{5\pi}{4}\Big)=\tan\Big(\pi+\frac\pi4\Big)=\tan\frac\pi4}\\
\ \\
{\color{red}\cot\Big(\pi+\frac{\pi}{3}\Big)=\cot\frac\pi3}\\
\ \\
\Big(\sin\frac\pi3-\sin\frac\pi6\Big)\Big(\sin\frac\pi3-\Big({\color{blue}-\sin\frac\pi6}\Big)\Big)+\Big({\color{green}\tan\frac\pi4}-{\color{red}\cot\frac\pi3}\Big)^2=\\
\ \\
\Big(\sin\frac\pi3-\sin\frac\pi6\Big)\Big(\sin\frac\pi3+\sin\frac\pi6\Big)+\Big(\tan\frac\pi4-\cot\frac\pi6\Big)^2=\\
\ \\

Valori noti:

{\color{blue}\sin\frac\pi3=\frac{\sqrt3}{2}}\\
 \ \\
{\color{green}\sin\frac\pi6=\frac12}\\
\ \\
{\color{red}\tan\frac\pi4=1}\\
\ \\
{\color{orange}\cot\frac\pi6=\sqrt3}\\
\ \\
\Big({\color{blue}\frac{\sqrt3}{2}-{\color{green}\frac12}}\Big)\Big({\color{blue}\frac{\sqrt3}{2}+{\color{green}\frac12}}\Big)+\Big({\color{red}1}-{\color{orange}\sqrt3}\Big)^2=\\
\ \\
\frac34-\frac14+1+3-2\sqrt3=\\
\ \\
\frac{3-1+4+12}{4}-2\sqrt3=\\
\ \\
\frac{{\color{purple}9\cancel{\color{black}18}}}{{\color{purple}2\cancel{\color{black}4}}}-2\sqrt3=\\
\ \\
\frac92-2\sqrt3

Nei prossimi video vedremo le espressioni che si semplificano grazie alle formule della goniometria (come quelle di addizione, sottrazione, bisezione e così via).

Espressioni con definizioni di base e senza valori specifici degli angoli

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Pubblicato inEspressioni goniometriche , Goniometria

Iniziamo a vedere come usare gli archi associati e le definizioni di base:

{\color{blue}1)}\sin (\pi-\alpha)+\cos^2(-\alpha)+2\sin^2(\pi+\alpha)-2\cos(\pi-\alpha)=\\

Iniziamo usando gli archi associati per semplificare l’espressione:

{\color{blue}\sin(\pi-\alpha)=\sin\alpha}\\
{\color{green}\cos(-\alpha)=\cos\alpha}\\
{\color{red}\sin(\pi+\alpha)=-\sin\alpha}\\
{\color{orange}\cos(\pi-\alpha)=-\alpha}

Da questo otteniamo:

{\color{blue}\sin\alpha}+{\color{green}(\cos\alpha)}^2+2({\color{red}-\sin\alpha})^2-2({\color{orange}-\cos\alpha})=\\
\sin\alpha+\cos^2\alpha+2\sin^2\alpha+2\cos\alpha=\\

Ora possiamo solo usare la relazione fondamentale della goniometria:

{\color{purple}\cos^2\alpha+\sin^2\alpha=1}

e per poterlo fare riscriviamo

2\sin^2\alpha=\sin^2\alpha+\sin^2\alpha\\
\sin\alpha+\cos^2\alpha+\sin^2\alpha+\sin^2\alpha+2\cos\alpha=\sin\alpha+(\cos^2\alpha+\sin^2\alpha)+\sin^2\alpha+2\cos\alpha\\
\sin\alpha+{\color{purple}1}+\sin^2\alpha+2\cos\alpha

E non possiamo fare altro con:

\sin \alpha \text{ e}\ \cos\alpha \text{ di primo grado}
{\color{blue}2)}\sin(-\alpha)+\cos(2\pi-\alpha)-\tan\alpha+2\sin(\pi-\alpha)-2\tan(\pi+\alpha)=

Ricordiamo che la definizione di tangente è:

{\color{purple}\tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}}

quindi, sostituendo, abbiamo

\sin(-\alpha)+\cos(2\pi-\alpha)-{\color{purple}\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}}+2\sin(\pi-\alpha)-2{\color{purple}\frac{\sin(\pi+\alpha)}{\cos(\pi+\alpha)}}=

Vediamo che archi associati ci servono:

{\color{blue}\sin(-\alpha)=-\sin\alpha}\\
{\color{green}\cos(2\pi-\alpha)=\cos(-\alpha)=\cos\alpha}\\
{\color{red}\sin(\pi-\alpha)=\sin\alpha}\\
{\color{orange}\sin(\pi+\alpha)=-\sin\alpha}\\
{\color{brown}\cos(\pi+\alpha)=-\cos\alpha}

Da cui otteniamo:

{\color{blue}-\sin\alpha}+{\color{green}\cos\alpha}-\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}+2{\color{red}\sin\alpha}-2\frac{{\color{orange}-\sin\alpha}}{{\color{brown}-\cos\alpha}}=

Sistemiamo i segni nell’ultima frazione: abbiamo tre volte il segno -, quindi avremo

{\color{purple}-\cdot-\cdot-=-}
-\sin\alpha+\cos\alpha-\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}+2\sin\alpha{\color{purple}-}2\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}

Il denominatore comune è:

\frac{-\sin\alpha\cos\alpha+\cos\alpha\cos\alpha-\sin\alpha+2\sin\alpha\cos\alpha-2\sin\alpha}{\cos\alpha}=\\
\ \\
\frac{{\color{blue}\underline{\color{black}{-\sin\alpha\cos\alpha}}}+\cos^2\alpha+{\color{green}\underline{{\color{black}-\sin\alpha}}}+{\color{blue}\underline{\color{black}{2\sin\alpha\cos\alpha}}}{\color{green}\underline{\color{black}{-2\sin\alpha}}}}{\cos\alpha}=\\

Sommiamo le due coppie di addendi simili:

\frac{\sin\alpha\cos\alpha+\cos^2\alpha-3\sin\alpha}{\cos\alpha}

Come nel caso precedente, arrivati a questo punto non possiamo più semplificare ed abbiamo finito.

Vediamo un esempio con l’arcotangente:

{\color{blue}3)} (\cot(\pi+\alpha)\sin\alpha+\tan(\pi-\alpha)\cos(\pi-\alpha))^2-2\cos\alpha\sin\alpha=

Facciamo le due sostituzioni:

{\color{purple}\cot\alpha=\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}} \\
\ \\
{\color{blue}\tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}}\\
\ \\
\Big({\color{purple}\frac{\cos(\pi+\alpha)}{\sin(\pi+\alpha)}}\sin\alpha+{\color{blue}\frac{\sin(\pi-\alpha)}{\cos(\pi-\alpha)}}\cos(\pi-\alpha)\Big)^2-2\sin\alpha\cos\alpha=

Vediamo gli archi associati presenti in questo esercizio:

{\color{blue}\cos(\pi+\alpha)=-\cos\alpha}\\
{\color{green}\sin(\pi+\alpha)=-\sin\alpha}\\
{\color{red}\sin(\pi-\alpha)=\sin\alpha}\\
{\color{orange}\cos(\pi-\alpha)=-\cos\alpha}

Da cui:

\Big(\frac{\color{blue}{-\cos\alpha}}{\color{green}{\cancel{-\sin\alpha}}}{\color{green}\cancel{\color{black}{\sin\alpha}}}+\frac{\color{red}{\sin\alpha}}{\color{orange}\cancel{-\cos(\alpha)}}{\color{orange}\cancel{-\cos\alpha}}\Big)^2-2\cos\alpha\sin\alpha=\\
\ \\
(-\cos\alpha\cdot(-1)+\sin\alpha\cdot(-1)\cdot(-1))^2-2\sin\alpha\cos\alpha=\\
\ \\
(\cos\alpha+\sin\alpha)^2-2\cos\alpha\sin\alpha=

Usiamo la formula del quadrato di binomio:

{\color{purple}(a+b)^2=a^2+b^2+2ab}\\
\ \\
{\color{purple}\cos^2\alpha+\sin^2\alpha}{\color{blue}\cancel{\color{purple}{+2\sin\alpha\cos\alpha}}}-{\color{blue}\cancel{\color{black}{2\sin\alpha\cos\alpha}}}=\\
\ \\
\cos^2\alpha+\sin^2\alpha=1

Dove l’ultima uguaglianza è data ancora dalla relazione fondamentale della goniometria.

Vediamo qualche espressione che coinvolge gli archi associati con

\frac{\pi}{2}\ e\ \frac{3}{2}\pi\\
\ \\
{\color{blue}4)}\sin(\pi-\alpha)+\cos^2(2\pi-\alpha)-2\sin(3\pi+\alpha)+3\sin\Big(\frac{3\pi}{2}-\alpha\Big)-2\sin^2\Big(\frac{\pi}{2}-\alpha\Big)=\\
\ \\

Archi associati:

{\color{blue}\sin(\pi-\alpha)=\sin\alpha}\\
{\color{green}\cos(2\pi-\alpha)=\cos(-\alpha)=\cos\alpha}\\
{\color{red}\sin(3\pi+\alpha)=\sin(2\pi+\pi+\alpha)=\sin(\pi+\alpha)-\sin\alpha}\\
\ \\
{\color{orange}\sin\Big(\frac{3\pi}{2}-\alpha\Big)=-\cos\alpha}\\
\ \\
{\color{brown}\sin\Big( \frac{\pi}{2}-\alpha\Big)=\cos\alpha}\\
\ \\
{\color{blue}\sin\alpha}+({\color{green}\cos\alpha})^2-2({\color{red}-\sin\alpha})+3({\color{orange}-\cos\alpha})-2({\color{brown}\cos\alpha})^2=\\
\ \\
{\color{blue}\underline{\color{black}{\sin\alpha}}}+{\color{purple}\underline{\color{black}{\cos^2\alpha}}}+{\color{blue}\underline{\color{black}{2\sin\alpha}}}-3\cos\alpha-{\color{purple}\underline{\color{black}{2\cos^2\alpha}}}=\\
\ \\
3\sin\alpha-3\cos\alpha-\cos^2\alpha

Vediamo un altro esempio:

{\color{blue}5)}\cot(\pi-\alpha)\tan\Big(\frac{3\pi}{2}-\alpha\Big)+(\cos\alpha-\sin(\pi+   \alpha))^2+\cot\Big(\frac{3\pi}{2}+\alpha\Big)\cos\alpha=

Usiamo

{\color{purple}\cot\alpha=\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}}\\
\ \\
 {\color{blue}\tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}}\\
\ \\
{\color{purple}\frac{\cos(\pi-\alpha)}{\sin(\pi-\alpha)}}{\color{blue}\frac{\sin\Big(\frac{3\pi}{2}-\alpha\Big)}{\cos\Big(\frac{3\pi}{2}-\alpha\Big)}}+(\cos\alpha+\sin(\pi+\alpha))^2+{\color{purple}\frac{\cos\Big(\frac{3\pi}{2}+\alpha\Big)}{\sin\Big(\frac{3\pi}{2}+\alpha\Big)}}\cos\alpha=

Archi associati:

{\color{blue}\cos(\pi-\alpha)=-\cos\alpha}\\
{\color{green}\sin(\pi-\alpha)=\sin\alpha}\\
\ \\
{\color{red}\sin\Big(\frac{3\pi}{2}-\alpha \Big)= -\cos\alpha}\\
\ \\
{\color{orange}\cos\Big(\frac{3\pi}{2}-\alpha\Big)=-\sin\alpha}\\
\ \\
{\color{brown}\sin(\pi+\alpha)=-\sin\alpha}\\
\ \\
{\color{purple}\cos\Big(\frac{3\pi}{2}+\alpha \Big)=\sin\alpha}\\
\ \\
{\color{pink}\sin\Big(\frac{3\pi}{2}-\alpha\Big)=-\cos\alpha}\\
\ \\
\frac{{\color{blue}-\cos\alpha}}{{\color{green}\sin\alpha}}\frac{{\color{red}-\cos\alpha}}{{\color{orange}-\sin\alpha}}+(\cos\alpha+{\color{brown}(-\sin\alpha)})^2+\frac{{\color{purple}\sin\alpha}}{{\color{pink}\cancel{-\cos\alpha}}}{\color{pink}\cancel{\color{black}{\cos\alpha}}}=\\
\ \\
\frac{\cos^2\alpha}{-\sin^2\alpha}+(\cos\alpha-\sin\alpha)^2-\sin\alpha=\\
\ \\
-\frac{\cos^2\alpha}{\sin^2\alpha}+\cos^2\alpha+\sin^2\alpha-2\sin\alpha\cos\alpha-\sin\alpha=\\
\ \\
-\frac{\cos^2\alpha}{\sin^2\alpha}+1-2\sin\alpha\cos\alpha-\sin\alpha

Calcoliamo il denominatore comune, che è

\sin^2\alpha

Che diventa:

\frac{-\cos^2\alpha+\sin^2\alpha-2\sin^3\alpha\cos\alpha-\sin^3\alpha}{\sin^2\alpha}\\
\ \\

E non possiamo fare altro.

{\color{blue}6)}\sin\alpha+\cos(2\pi-\alpha)+\frac{\cos(-\alpha)}{1-\sin^2(-\alpha)}2\tan\alpha-\frac{1-\sin(2\pi-\alpha)}{\cos(-\alpha)}=

Archi associati:

{\color{blue}\cos(2\pi-\alpha)=\cos(-\alpha)=\cos\alpha}\\
{\color{green}\sin(2\pi-\alpha)\sin(-\alpha)=-\sin\alpha}\\
\ \\
\sin\alpha+{\color{blue}\cos\alpha}+\frac{{\color{blue}\cos\alpha}}{1-({\color{green}-\sin\alpha})^2}2\tan\alpha-\frac{1-({\color{green}-\sin\alpha})}{{\color{blue}\cos\alpha}}=\\
\ \\
\sin\alpha+\cos\alpha+\frac{\cos\alpha}{1-\sin^2\alpha}2\tan\alpha-\frac{1+\sin\alpha}{\cos\alpha}=

Sostituiamo la tangente con la sua definizione

\sin\alpha+\cos\alpha+\frac{\color{purple}\cancel{\color{black}\cos\alpha}}{1-\sin^2\alpha}2{\color{purple}\frac{\sin\alpha}{\cancel{\cos\alpha}}}-\frac{1+\sin\alpha}{\cos\alpha}=\\
\ \\
\sin\alpha+\cos\alpha+\frac{2\sin\alpha}{1-\sin^2\alpha}-\frac{1+\sin\alpha}{\cos\alpha}=

Ricordiamo la legge fondamentale della goniometria:

\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\Rightarrow{\color{purple}\cos^2\alpha=1-\sin^2\alpha}\\

Quindi diventa:

\sin\alpha+\cos\alpha+\frac{\color{purple}\cancel{\color{black}\cos\alpha}}{1-\sin^2\alpha}2{\color{purple}\frac{\sin\alpha}{\cancel{\cos\alpha}}}-\frac{1+\sin\alpha}{\cos\alpha}=\\
\ \\
\sin\alpha+\cos\alpha+\frac{2\sin\alpha}{{\color{purple}\cos^2\alpha}}-\frac{1+\sin\alpha}{\cos\alpha}=

Calcoliamo il denominatore comune:

\frac{\cos^2\sin\alpha+\cos^3\alpha+2\sin\alpha-\cos\alpha-\cos\alpha\sin\alpha}{\cos^2\alpha}=\\

E a questo punto non possiamo semplificare altro.

Vediamo un ultimo esempio:

{\color{blue}7)} \frac{\Big(\sin\Big(\frac{\pi}{2}-\alpha\Big)+\sin(\pi-\alpha)\Big)^2+2\tan(\pi-\alpha)(\cos^2\alpha)}{\cos\Big(\frac{3\pi}{2}-\alpha\Big)}\tan(\pi+\alpha)=\\

Archi associati:

{\color{blue}\sin\Big(\frac\pi2-\alpha\Big)=\cos\alpha}\\
\ \\
{\color{green}\sin(\pi-\alpha)=\sin\alpha}\\
{\color{red}\tan(\pi-\alpha)=-\tan\alpha}\\
\ \\
{\color{orange}\cos\Big(\frac{3\pi}{2}-\alpha\Big)=-\sin\alpha}\\
\ \\
{\color{brown}\tan(\pi+\alpha)=\tan\alpha}\\
\ \\
\frac{({\color{blue}\cos\alpha}+{\color{green}\sin\alpha})^2+2({\color{red}-\tan\alpha})(\cos^2\alpha)}{{\color{orange}-\sin\alpha}}{\color{brown}\tan\alpha}=\\
\ \\
-\frac{\cos^2\alpha+\sin^2\alpha+2\sin\alpha\cos\alpha-2\tan\alpha\cos^2\alpha}{\sin\alpha}\tan\alpha=

Usiamo:

{\color{purple}\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1}\\ 
\ \\
{\color{blue}\tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}}

Quindi:

-\frac{{\color{purple}1}+2\sin\alpha\cos\alpha-2{\color{blue}\frac{\sin\alpha}{\cancel{\cos\alpha}}}{\color{blue}\cos\alpha\cancel{{\color{black}\cos^2\alpha}}}}{\color{purple}\cancel{\color{black}{\sin\alpha}}}{\color{blue}\frac{\color{purple}\cancel{\color{blue}{\sin\alpha}}}{\cos\alpha}}=\\
\ \\
-\frac{1+{\color{purple}\cancel{\color{black}2\sin\alpha\cos\alpha}}{\color{purple}\cancel{\color{black}-2\sin\alpha\cos\alpha}}}{\cos\alpha}=\\
\ \\
-\frac{1}{\cos\alpha}\\

Ed abbiamo finito.

Nei prossimi articoli vedremo le espressioni da semplificare con le altre formule, come quelle di addizione/ sottrazione, bisezione e così via.