Categoria: Problemi con mcm e MCD

{\color{blue}1)}\text{Tre auto percorrono la stessa pista nella stessa direzione.}\\
\text{Se la prima impiega 24s, la seconda 30s e la terza 36s a compiere un giro completo}\\
\text{e partono insieme, dopo quanti secondi saranno nuovamente insieme?}\\
\text{Dati:}\\
t_{1}=24\ s\\
t_2=30\ s\\
t_3=36\ s\\
\ \\
\text{Incognita:}\\
t_{comune}=?\\
\ \\
\text{Risoluzione:}\\
\text{In questo caso, abbiamo degli eventi periodici e, per stabilire quando avverranno in}\\
\text{contemporanea, dobbiamo cercare un numero che sia multiplo di tutti e tre i valori.}\\
\text{Questo valore non è altro che il minimo comune multiplo (mcm)}. \\
\text{Iniziamo calcolando la scomposizione in fattori primi:}\\
s_1=24\ s=2^3\cdot3\ s\\
s_2=30\ s=2\cdot3\cdot5\ s\\
s_3=36\ s=2^2\cdot3^2\ s\\
\text{Quindi, ricordando che il mcm è dato da tutti i fattori, comuni e non comuni, con}\\
\text{ esponente maggiore, abbiamo }\\
s_{comune}=2^3\cdot3^2\cdot5\ s=360\ s\\

{\color{blue}2)} \text{Vogliamo recintare un terreno di forma triangolare, coi lati che misurano}\\
\text{rispettivamente 30m, 25m e 20m. Per fare ciò voglio posizionare dei pali di sostegno, in }\\ \text{modo tale che siano tutti alla stessa distanza, ci sia un palo ad ogni vertice }\\
\text{e siano il minor numero possibile.}\\
\text{Quanti dovremo usarne?}\\
\text{Dati:}\\
l_1=30\ m\\
l_2=25\ m\\
l_3=20\ m\\
\ \\
\text{Incognita:}\\
\text{numero pali}=?\\
\ \\
\text{Risoluzione:}\\
\text{Dato che i pali devono essere posizionati in modo equidistante, dobbiamo trovare un}\\
\text{numero che divida tutti i valori delle distanze. Osserviamo che il testo ci chiede di }\\
\text{utilizzare il minor numero possibile di pali: questo significa che dobbiamo trovare la  }\\
\text{maggior distanza possibile tra di loro  e cioè trovare il più}\\
\text{grande divisore comune tra i tre valori, ma questa è proprio la definizione del Massimo}\\
\text{Comune Divisore (MCD). }\\
\text{Iniziamo scomponendo in fattori primi:}\\
30\ m=5\cdot6\ m\\
25\ m=5^2\ m\\
20\ m=2^2\cdot5\ m\\
\text{Quindi, dato che il MCD si calcola prendendo solo i fattori comuni tra tutti i valori e }\\
\text{con esponente minore, abbiamo:}\\
\text{distanza tra i pali}=5\ m\\
\text{Ora calcoliamo il perimetro del nostro terreno:}\\
2p= 30\ m+25\ m+20\ m=75\ m\\
\text{e, se mettiamo un palo ogni 5 m, ne occorreranno:}\\
\text{numero pali}=75\ m:5\ m=15 

{\color{blue}3) }\text{Una pasticceria deve confezionare 36 cioccolatini, 48 caramelle e 30 pasiccini}\\
\text{in  dei vasetti in modo tale che in ogni vasetto ci sia lo stesso numero di}\\
\text{dolci per ogni tipo. Qual'è il numero massimo di confezioni che si riusciranno ad ottenere? }\\
\text {Quanti cioccolatini conterrà ogni vasetto?}
\ \\
\text{Dati:}\\
36= \text{numero cioccolatini}\\
48= \text{numero di caramelle}\\
30=\text{numero di pasticcini}\\
\ \\
\text{Incognite:}\\
\text{numero di vasetti}=?\\
\text{numero di cioccolatini in ogni vasetto=?}\\
\ \\
\text{Risoluzione:}\\
\text{Come nel caso precedente, per riuscire a mettere lo stesso numero di ogni tipo di dolce}\\
\text {in ogni vasetto, dobbiamo cercare un valore che divida tutti e tre i nostri dati.}\\
\text{Dato che vogliamo il maggior numero di vasetti possibile, dobbiamo cercare il divisore }\\
\text{più grande possibile, quindi dobbiamo calcolare nuovamente il MCD.}\\
\text{Scomponiamo in fattori primi:}\\
36=2^2\cdot3^2\\
48= 2^4\cdot3\\
30= 2\cdot3\cdot5\\
\text{Quindi, se prendo solo i fattori  comuni, con esponente minore, ottengo:}\\
\text{numero vasetti=}2\cdot3=6\\
\text{Per scoprire quanti cioccolatini conterà ciascun vasetto, ci basta considerare il totale e }\\
\text{dividere per il numero di vasetti, dato che in ognuno ci sarà lo stesso numero}\\
\text{numero cioccolatini in ogni vasetto}= 36:6=6

{\color{blue}4)}\text{Sara va dal parrucchiere a tagliare i capelli ogni 9 settimane, a fare la tinta ogni} \\
\text{12 settimane e a fare la permanente ogni 15 settimane. }\\
\text{Se oggi si è recata dal parrucchiere per fare tutti e  tre i trattamenti, tra quante settimane}\\
\text{ricapiterà questo evento?}\\
\text{Dati:}\\
t_1=9\text{ settimane}\\
t_2=\text{12 settimane}\\
t_3=\text{15 settimane}\\
\ \\
\text{Incognita:}\\
t_{comune}=?\\
\ \\
\text{Risoluzione:}\\
\text{Abbiamo nuovamente degli eventi periodici e vogliamo sapere dopo quanto tempo }\\
\text{ torneranno a capitare contemporaneamente. Per fare questo, dobbiamo trovare un }\\
\text{numero che sia multiplo di tutti e tre i valori: il mcm. }\\
\text{Calcoliamo la scomposizione in fattori primi:}\\
9=3^2\\
12=2^2\cdot3\\
15=3\cdot5\\
\text{Quindi, se considero i fattori comuni e non comuni, presi con l'esponente maggiore:}\\
t_\text{comune}=2^2\cdot3^\cdot5=180\\
\text{Dato che oggi si è recata a fare tutti e tre i trattamenti, la prossima volta ricapiterà tra }\\
\text{180 settimane}.