Nel caso di espressioni con soltanto somme e differenze abbiamo due possibilità:
- Se tutte le frazioni hanno stesso denominatore, possiamo semplicemente sommare e sottrarre i numeratori, lasciando il denominatore invariato
- Se non ho lo stesso denominatore, prima devo calcolare il denominatore comune.
Oltre a questo accorgimento, per le espressioni con le frazioni valgono le stesse regole delle espressioni: prima dobbiamo risolvere le parti tra le parentesi tonde, poi tra le parentesi quadre, poi tra le parentesigraffe e infine ciò che rimane fuori.
Vediamo alcuni esempi di entrambi i casi (iniziando sempre controllando se le frazioni delle nostre espressioni sono ridotte ai minimi termini).
{\color{blue}1)}\frac{2}{3}+\frac{12}9-\frac86-\frac53+\frac{15}9=\\
\ \\
\text{Non tutte le frazioni sono in ridotte ai minimi termini: iniziamo a riportarle tutte in}\\
\text{questa forma}\\
\ \\
\frac23+\frac{12:3}{9:3}-\frac{8:2}{6:2}-\frac53+\frac{15:3}{9:3}=\\
\ \\
\frac23+\frac43-\frac43+\frac53=\\
\ \\
\frac{2+4-4+5}{3}=\frac{7}{3}\\
\ \\
{\color{blue}2)}\Big(\frac{1}{5}+\frac35-\frac75\Big)-\Big(\frac95-\frac45+\frac25\Big)+\frac65=\\
\ \\
\text{Svolgiamo prima i calcoli nelle parentesi}\\
\ \\
\Big(\frac{1+3-7}{5}\Big)-\Big(\frac{9-4+2}{5}\Big)+\frac65=\\
\ \\
-\frac35-\Big(\frac75\Big)+\frac65=\\
\ \\
\frac{-3-7+6}{5}=-\frac45\\
\ \\
{\color{blue}3)}\frac54+\frac73-\frac46+\frac9{15}=\\
\ \\
\text{Riduciamo la frazione ai minimi termini:}\\
\ \\
\frac54+\frac73-\frac{4:2}{6:2}+\frac{9:3}{15:3}=\\
\ \\
\frac54+\frac73-\frac23+\frac35\\
\ \\
\text{Per procedere dobbiamo calcolare il denominatore comune tra le frazioni, ovvero il} \\ \text{minimo comune multiplo tra i denominatori: in questo caso mcm} (3,4,5)=2^2\cdot3\cdot5=60\\
\ \\
\frac{5\cdot(60:4)+7\cdot(60:3)-2\cdot(60:3)+3\cdot(60:5)}{60}=\\
\ \\
\frac{5\cdot15+7\cdot20-2\cdot20+3\cdot12}{60}=\\
\ \\
\frac{75+140-40+36}{60}=\frac{211}{60}\\
\ \\
{\color{blue}4)}\Big(1+\frac13\Big)-\Big(\frac34-\frac35\Big)+\Big(\frac74-\frac1{10}\Big)=\\
\ \\
\text{Iniziamo considerando prima il denominatore tra le frazioni nelle parentesi:}\\
\text{ nella prima dobbiamo calcolare il mcm(1,3)=3 (perchè i numeri interi hanno come}\\
\text{denominatore 1), nella seconda dobbiamo calcolare il mcm(4,5)}=2^2\cdot5=20\\
\text{mentre nell'ultima dobbiamo calcolare il mcm(4,10)}=2^2\cdot5=20\\
\ \\
\Big(\frac{1\cdot(3:1)+1\cdot(3:3)}{3}\Big)-\Big(\frac{3\cdot(20:4)-3\cdot(20:5)}{20}\Big)+\Big(\frac{7\cdot(20:4)-1\cdot(20:10)}{20}\Big)=\\
\ \\
\Big(\frac{1\cdot3+1\cdot1}{3}\Big)-\Big(\frac{3\cdot5-3\cdot4}{20}\Big)+\Big(\frac{7\cdot5-1\cdot2}{20}\Big)=\\
\ \\
\frac43-\frac3{20}+\frac{33}{20}=\\
\ \\
\text{Ora consideriamo il mcm(3,20)=60}\\
\ \\
\frac{4\cdot(60:3)-3\cdot(60:20)+33\cdot(60:20)}{60}=\\
\ \\
\frac{4\cdot20-3\cdot3+33\cdot3}{60}\\
\ \\
\frac{80-9+99}{60}=\frac{170}{60}\\
\ \\
\text{Ora riduciamo ai minimi termini il risultato:}\\
\ \\
\frac{170:10}{60:10}=\frac{17}{6}\\
\ \\
{\color{blue}5)}\frac15+\Big[\Big(\frac{3}{10}-2+\frac75\Big)-\Big(1-\frac17+\frac12\Big)-\frac35\Big]-\frac67=\\
\ \\
{\small{\frac15+\Big[\Big(\frac{3\cdot(10:10)-2\cdot(10:1)+7\cdot(10:5)}{10}\Big)+\Big(\frac{1\cdot(14:1)-1\cdot(14:7)+1\cdot(14:2)}{14}\Big)-\frac35\Big]-\frac67=}}\\
\ \\
\frac15+\Big[\Big(\frac{3\cdot1-2\cdot10+7\cdot2}{10}\Big)-\Big(\frac{1\cdot14-1\cdot2+1\cdot7}{14}\Big)-\frac35\Big]-\frac67=\\
\ \\
\frac15+\Big[\Big(\frac{3-20+14}{10}\Big)-\Big(\frac{14-2+7}{14}\Big)-\frac35\Big]-\frac67=\\
\ \\
\frac15+\Big[-\frac3{10}-\frac{19}{14}-\frac35\Big]-\frac67=\\
\ \\
\frac15+\Big[\frac{-3\cdot(70:10)-19\cdot(70:14)-3\cdot(70:5)}{70}\Big]-\frac67=\\
\ \\
\frac15+\Big[\frac{-3\cdot7-19\cdot5-3\cdot14}{70}\Big]-\frac67=\\
\ \\
\frac15-\frac{158}{70}-\frac67=\\
\ \\
\frac15+\frac{158:2}{70:2}-\frac67=\\
\ \\
\frac15+\frac{79}{35}-\frac67=\\
\ \\
\frac{1\cdot(35:5)+79\cdot(35:35)-6\cdot(35:7)}{35}=\\
\ \\
\frac{1\cdot7+79\cdot1-6\cdot5}{35}=\\
\ \\
\frac{7+79-30}{35}=\frac{56}{35}\\
\ \\
\text{Ora riduciamo il risultato ai minimi termini:}\\
\ \\
\frac{56:7}{35:7}=\frac85